Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2014.2, Questão ME2

Se y 1 e y 2 são duas soluções particulares da equação não homogênea a y ' ' + b y ' + c y = G ( x ) , a diferença y = y 1 - y 2 é:

(a) A solução geral da mesma equação a y ' ' + b y ' + c y = G x

(b) Uma solução particular da equação homogênea a y ' ' + b y ' + c y = 0

(c) A solução geral da mesma equação homogênea a y ' ' + b y ' + c y = 0

(d) Uma solução particular da mesma equação a y ' ' + b y ' + c y = G ( x )

(e) Nenhuma das outras opções.

Passo 1

Vamos jogar a y = y 1 - y 2 na equação e ver o que acontece, que tal?

a y ' ' + b y ' + c y = a y 1 - y 2 ' ' + b y 1 - y 2 ' + c y 1 - y 2

Como você viu lá em Cálculo 1, a derivada da diferença é a diferença das derivadas, então

y 1 - y 2 ' = y 1 ' - y 2 '

e isso serve pras derivadas segundas também!

Então temos

a y 1 ' ' - y 2 ' ' + b y 1 ' - y 2 ' + c y 1 - y 2

= a y 1 ' ' + b y 1 ' + c y 1 - a y 2 ' ' - b y 2 ' - c y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mas y 1 e y 2 são solução da equação não homogênea a y ' ' + b y ' + c y = G ( x ) , então

a y 1 ' ' + b y 1 ' + c y 1 = G x

e

a y 2 ' ' + b y 2 ' + c y 2 = G ( x )

Logo,

a y 1 ' ' + b y 1 ' + c y 1 - a y 2 ' ' - b y 2 ' - c y 2 = G x - G x = 0

Opa, deu zero! Recapitulando, achamos

a y ' ' + b y ' + c y = 0

Ou seja, y = y 1 - y 2 é solução da equação homogênea!

Resposta

Alternativa (b)

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