Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2019.1, Questão 13

Um sistema massa-mola é governado pelo problema de valores iniciais:

2 x ' ' t + 8 x ' t + 8 x t = 4 e - 2 t ,     x 0 = 0 ,       x ' 0 = 1

A posição da mola no instante t = 3 é:

  1. 14 e - 12
  2. 12 e - 6
  3. 10 e - 28
  4. 7 e - 10
  5. 12 e - 12

Passo 1

A gente tem a equação de uma EDO de segunda ordem com valores iniciais.

Percebe que ela é não homogênea. Então a solução dela é da forma:

x t = x h o m o g ê n e a + x p a r t i c u l a r

A solução homogênea a gente acha pela equação característica e a particular dando aquele chute esperto.

E para descobrir as constantes que aparecerem, usamos os valores iniciais, beleza?

A questão pede x 3 , então depois que acharmos a solução, é só fazer t = 3 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos 2 x ' ' t + 8 x ' t + 8 x t = 4 e - 2 t ,   então a equação homogênea é:

2 x ' ' t + 8 x ' t + 8 x t = 0

Com isso a equação característica fica:

2 r 2 + 8 r + 8 = 0

Calculando o Δ e as raízes dessa equação:

Δ = 8 2 - 4 2 8 = 0

r = - 8 ± 0 2 2 = - 2

Para esse caso, x t = c 1 e r t + c 2 t e r t

x t h o m o g ê n e a = c 1 e - 2 t + c 2 t e - 2 t

Passo 3

Precisamos encontrar, então, a solução particular para 2 x ' ' t + 8 x ' t + 8 x t = 4 e - 2 t

Olhando para a função do lado direito da nossa equação, nosso chute inicial vai ser x t = A e - 2 t .

Maaaas, esse termo já aparece na solução homogênea, então a gente precisa multiplicar ele por t :     x t = A t e - 2 t .

Só que, de novo, esse termo aparece na solução homogênea, então a gente vai precisar multiplicar por t de novo. Nosso chute então fica assim:

x t p = A t 2 e - 2 t

Passo 4

Agora a gente quer substituir esse chute na nossa EDO para achar o valor de A . Calculando as derivadas de x t p :

x ' t p = A 2 t e - 2 t - 2 t 2 e - 2 t = 2 A t e - 2 t - 2 A t 2 e - 2 t

x ' ' t p = 2 A e - 2 t - 2 t e - 2 t - 2 A 2 t e - 2 t - 2 t 2 e - 2 t

x ' ' t p = 2 A e - 2 t - 8 A t e - 2 t + 4 t 2 e - 2 t

Substituindo na equação:

2 x ' ' t + 8 x ' t + 8 x t = 4 e - 2 t

2 2 A e - 2 t - 8 A t e - 2 t + 4 t 2 e - 2 t + 8   2 A t e - 2 t - 2 A t 2 e - 2 t + 8   A t 2 e - 2 t = 4 e - 2 t

Fazendo a distributiva e somando os termos semelhantes, vemos que alguns termos vão se cortando e a gente fica com:

4 A e - 2 t = 4 e - 2 t A = 1

Nossa solução particular fica desse forma:

x t p = t 2 e - 2 t

Passo 5

Podemos achar a solução geral que é:

x t = x h o m o g ê n e a + x p a r t i c u l a r

x t = c 1 e - 2 t + c 2 t e - 2 t + t 2 e - 2 t

E para achar as constantes, só usarmos os valores iniciais:

x 0 = 0

x 0 = c 1 1 + c 2 0 + 0 = 0 c 1 = 0

x ' ( 0 ) = 1

Temos que calcular x ' antes (e já sabendo que c 1 = 0 ) :

x ' t = c 2 e - 2 t - 2 t e - 2 t + 2 t e - 2 t + t 2 e - 2 t

x ' 0 = c 2 1 - 0 + 0 + 0 = 1 c 2 = 1

Finalmente, a solução da nossa equação é:

x t = t e - 2 t + t 2 e - 2 t

Passo 6

O enunciado pediu x ( 3 ) , então:

x 3 = 3 e - 2 3 + 3 2 e - 2 3 = 3 e - 6 + 9 e - 6 = 12 e - 6

Logo, nossa resposta é a letra b.

Resposta

Letra b

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