Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2017.1, Questão 12

A solução geral de y "   - 4 y ' + 4 y =   e 2 x pode ser escrita na forma y x =   y h x +   y p ( x ) , onde y h x é a solução da equação homogênena associada e y p x É da forma:

  1. n e n h u m a   d a s   d e m a i s   a l t e r n a t i v a s
  2. A e 2 x + B x e 2 x
  3. A e 2 x
  4. A x e 2 x
  5. A x ² e 2 x

Passo 1

Vamos seguir o passo a passo para encontrar a seguinte solução:

y x =   y h x +   y p ( x )

Primeiro, encontramos a solução da equação auxiliar da EDO homogênea

y "   - 4 y ' + 4 y =   0

r 2 - 4 r + 4 = 0

= 0

r = 2

Assim, como você já está fera em EDO de segunda ordem homogênea, temos:

y h x = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pronto! Agora partimos para a solução particular, ok ?

Como a f ( x )   =   e 2 x , e já temos e 2 x e x e 2 x aparecendo na solução homogênea, então teremos solução particular na forma

y p x = A x ² e 2 x

Ooops! Não precisa fazer mais nada, já temos a forma da solução particular!

Resposta

(e)   A x ² e 2 x

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