Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2014.1, Questão ME4

Uma solução particular de

y " + 2 y ' + 3 y = s e n   2 x

É do tipo:

  1. A c o s 2 x + B s e n 2 x
  2. A x c o s 2 x + B x s e n 2 x
  3. A s e n   2 x
  4. A x s e n   2 x
  5. A c o s   2 x

Passo 1

Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados. A parte chata desse método é que ele requer um pouco de prática, mas não se preocupe com o tempo a gente pega:

Vamos chutar que a solução seja da forma

y p x = A c o s 2 x + B s e n 2 x

Nossa equação fica então: y ' = - 2 A s e n 2 x + 2 B c o s 2 x

y ' ' = - 2 A c o s 2 x - 2 B s e n 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos substituir na EDO inicial:

- 2 A c o s 2 x - 2 B s e n 2 x + 2 - 2 A s e n 2 x + 2 B c o s 2 x + 3 A c o s 2 x + B s e n 2 x = s e n 2 x

Ou seja:

s e n 2 x - 2 B - 2 2 A + 3 B + cos 2 x - 2 A + 2 2 B + 3 A = s e n 2

Passo 3

Igualando os coeficientes dos termos em s e n ( 2 x ) e cos 2 x vamos ficar com o seguinte sistema:

- 2 2 A + B = 1 A + 2 2 B = 0

Cuja solução é: B = 1 9 A = - 2 2 9

Passo 4

Portanto uma solução é da forma: A c o s 2 x + B s e n 2 x

Maaaaaas, temos que conferir se essa solução é igual à homogênea.

Repare que se a gente fizer a solução da homogênea, vai ser:

r 2 + 2 r + 3 = 0

r = - 1 ± i 2

E a solução fica:

y h x = e - x D c o s 2 x + C s e n 2 x

Como tem aquele e - x nos salvando, as soluções são diferentes e portanto, a solução particular será mesmo:

A c o s 2 x + B s e n 2 x

Que é da forma da alternativa a

Resposta

  1. A c o s 2 x + B s e n 2 x

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