Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

Calcule a projeção ortogonal do vetor 1,0 , 0 , - 1 sobre o espaço gerado por 1,1 , 0,0 e 0,1 , 1,1 .

(a) 1 5 1,1 , 0,0

(b) 1 5 0,1 , 1,1

(c) 1 5 4,1 , - 3 , - 3

(d) 1 5 ( 1,2 , 1,1 )

Passo 1

Precisamos projetar um vetor no espaço gerado por 1,1 , 0,0 e 0,1 , 1,1 .

Esses dois vetores não são LD (um não é múltiplo do outro), logo formam uma base para o espaço.

Mas repara que os dois não são ortogonais entre si, pois produto interno entre eles não é zero.

Então, pra fazer essa projeção, vamos usar os mínimos quadrados!

Por esse método, resolvemos a equação:

A T A z = A T b

onde:

  • A é uma matriz cujos vetores das colunas são os vetores da base do espaço em que estamos projetando;
  • b é o vetor que queremos projetar/aproximar
  • z é a nossa incógnita e é um vetor cujas entradas dão a nossa melhor aproximação para o vetor b

Tá, mas depois de achar z, o problema foi resolvido??

NÃO! Porque queremos a projeção, então vamos ter que fazer ainda:

P I m A b = A z

Agora sim, vamos resolver essa questão!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

De acordo com o que vimos antes, temos:

Montando a equação e resolvendo:

A T A z = A T b

Vamos resolver esse sistema montando a matriz aumentada e escalonando:

L 2 ← L 2 - 1 2 L 1

Então:

5 2 y = - 3 2

y = - 3 5

Pela primeira linha:

2 x + y = 1

∴ x = 4 5

Logo:

z = 4 5 - 3 5

Passo 3

Agora não esquece de fazer a projeção!

P I m A b = A z

Resposta

(c) 1 5 4,1 , - 3 , - 3

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