Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

A3 T15

Sejam V um espaço vetorial com produto interno e o conjunto linearmente independente u , v ⊂ V e seja w a projeção de v em u . Então:

a   v - w + u = v

b   v = u + w

c   v - u é ortogonal a w

d v - w é ortogonal a u

Passo 1

Esse desenho lindo e maravilhoso que você pode fazer rapidamente na sua prova tem todas as respostas que precisamos:

Ta, vamos adaptar ele para o nosso problema! Temos o seguinte:

Só com isso já dá pra responder o problema né?

a v - w + u ≠ v . Essa é falsa. (na verdade seria igual se u = w , mas como não podemos sempre afirmar isso, essa é falsa).

b v ≠ u + w . Tenho nem o que falar, muito falsa essa haha.

c v - u não é ortogonal a w . Falsa também.

d v - w é ortogonal a u . Agora sim, essa faz sentido! Se w é a projeção de v em u , v - w será a projeção de v em u ⊥ . Então ele sempre vai ser perpendicular a u !

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Resposta

Letra ( d )

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