Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

Seja e b → ∈ R 4   e

tal que A T A - 1 A T b → = 2   1   1 T . Então a projeção ortogonal de b → sobre a imagem de A é:

(a) P I m A b → = 7   1   1 - 9 T

(b) P I m A b → = 9   3   3 - 7 T

(c) P I m A b → = 2   1   1 T

(d) P I m A b → = 1   1   1   1 T

Passo 1

Bom, lembra do método dos mínimos quadrados??

A gente tinha essa formulazinha:

A T A z = A T b →

Nela, A é uma matriz cujas colunas formam o espaço em que a gente quer projetar, b → é o vetor que a gente quer projetar e z é um vetor cujas entradas dão a melhorar projeção e é também a nossa incógnita.

A gente viu que, quando a gente encontra o z e multiplica de volta pela matriz A, obtemos a projeção de b → no espaço gerado pelas colunas de A.

Mas lembra que o espaço gerado pelas colunas de A também é mais conhecido como imagem de A!

Então o que a gente quer achar na verdade é:

P I m A b → = A z

Mas como a gente faz isso com os dados do enunciado??

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar manipulando um pouco a fórmula de mínimos quadrados.

A T A z = A T b →

Multiplicando à esquerda dos dois lados por A T A - 1 :

A T A - 1 A T A z = A T A - 1 A T b →

Mas:

A T A - 1 A T A = I

Então:

z = A T A - 1 A T b →

E foi isso que o enunciado deu pra gente né!

A T A - 1 A T b → = 2   1   1 T = z

Então é só fazer:

P I m A b → = A z

Resposta

(a) P I m A b → = 7   1   1 - 9 T

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