Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 162 – Prob 5.5 Adaptado

Determine as matrizes das T L s T : R n → R n :

a   n = 2 , projeção ortogonal na reta 2 t , - t ∈ R 2 ; p a r a   t ∈ R

b   n = 3 , projeção ortogonal sobre o plano x = z

c   n = 2 , projeção ortogonal na reta 2 x - 4 y = 0

d   n = 3 , projeção ortogonal no plano x + y - z = 0

Passo 1

a É pedida a matriz que representa a projeção sobre a reta gerada pelo vetor 2 , - 1 .

A fórmula da matriz projeção sobre a direção de um vetor v é dada por:

P v = v v T v T v = 2 - 1 2 - 1 2 - 1 2 - 1 = 4 - 2 - 2 1 5 = 4 5 - 2 5 - 2 5 1 5

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b   Queremos achar um a projeção sobre um plano no R 3 . Repare que o complemento ortogonal do plano será uma reta. Logo, podemos usar nossa fórmuleta!

Da equação do plano, podemos encontrar o vetor gerador da reta ortogonal à ele:

x - z = 0

1,0 , - 1

Vamos achar a matriz que representa a projeção sobre essa reta:

P v = v v T v T v = 1 0 - 1 [ 1 0 - 1 ] [ 1 0 - 1 ] 1 0 - 1 = 1 0 - 1 0 0 0 - 1 0 1 2 = 1 2 0 - 1 2 0 0 0 - 1 2 0 1 2

Para encontrarmos a matriz que projeta sobre o plano basta fazermos:

P H = I - P v

P H = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1 2 0 - 1 2 0 0 0 - 1 2 0 1 2 = 1 2 0 1 2 0 1 0 1 2 0 1 2

Passo 3

c Primeiro passo é achar o vetor que gera essa reta. Temos pela equação da mesma que:

2 x = 4 y ⇒ x = 2 y

Logo, o vetor genérico é da forma 2 y , y = y 2,1 . Ou seja, é uma projeção na direção do vetor 2,1 . E temos uma fórmula pra isso ;)

P v = v v T v T v = 2 1 2 1 2 1 2 1 = 4 2 2 1 5 = 4 5 2 5 2 5 1 5

Passo 4

d Queremos achar um a projeção sobre um plano no R 3 . Repare que o complemento ortogonal do plano será uma reta. Logo, podemos usar nossa fórmuleta!

Da equação do plano, podemos encontrar o vetor gerador da reta ortogonal à ele:

x + y - z = 0

1,1 , - 1

Vamos achar a matriz que representa a projeção sobre essa reta:

P v = v v T v T v = 1 1 - 1 [ 1 1 - 1 ] [ 1 1 - 1 ] 1 1 - 1 = 1 1 - 1 1 1 - 1 - 1 - 1 1 3 = 1 3 1 3 - 1 3 1 3 1 3 - 1 3 - 1 3 - 1 3 1 3

Para encontrarmos a matriz que projeta sobre o plano basta fazermos:

P H = I - P v

P H = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1 3 1 3 - 1 3 1 3 1 3 - 1 3 - 1 3 - 1 3 1 3 = 2 3 - 1 3 1 3 - 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 3

Resposta

a   4 5 - 2 5 - 2 5 1 5

b   1 2 0 1 2 0 1 0 1 2 0 1 2

c   4 5 2 5 2 5 1 5

d 2 3 - 1 3 1 3 - 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 3

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