Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

A3 T15 T14 T6 T4

Considere as seguintes afirmações:

  1. Se β é um conjunto ortonormal que gera o subespaço H , então β é uma base ortogonal de H .
  2. O sistema linear A T A x → = A T b → sempre tem solução mesmo quando b → ∉ I m A

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira

( b ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa

( c ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira

( d ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa

Passo 1

Afirmativa I :

Sabemos que um conjunto ortogonal de vetores é L I . E um conjunto ortonormal é simplesmente um conjunto ortogonal cujos vetores tem norma igual a 1 ! Logo, β é L I .

Logo, temos um conjunto L I de vetores ortonormais que gera um subespaço H então, por definição, β é uma base ortogonal de H .

Verdadeira.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Afirmativa I I :

Po o que esse sistema te lembra? Mínimos quadrados certo? E pra que usamos mínimos quadrados? Para encontrar a melhor aproximação para o nosso vetor! Ou seja, achar a melhor solução para um sistema que não tem solução!

O que estamos fazendo na verdade é encontrar a projeção de b → sobre o espaço gerado pelas colunas de A lembra? Como sempre podemos encontrar essa projeção então podemos dizer que o sistema SEMPRE tem solução.

Verdadeira.

Resposta

Letra ( a )

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