Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

A3 T15

Seja v → = v 1 , v 2 , v 3 o vetor do plano z = 2 x - 2 y que é o mais próximo do vetor 3,1 , - 5 . Então a soma de suas entradas v 1 + v 2 + v 3 , vale:

( a ) 1

( b ) 3

( c ) 0

( d ) 4

Passo 1

O que essa história de “vetor mais próximo” te lambra?? Se você pensou em projeção ortogonal está certíssimo! Traduzindo o enunciado, ele está pedindo a projeção do vetor 3 , 1 , - 5 no plano 2 x - 2 y - z = 0 !

Bom, com o conhecimento que temos até agora podemos resolver isso de duas formas! Uma usando a linearidade da T L e a outra usando mínimos quadrados. De um jeito ou de outro, precisamos de uma base para o plano aonde estamos projetando. Vamos acha-la então:

z = 2 x - 2 y

x , y , 2 x - 2 y = x 1,0 , 2 + y 0,1 , - 2

Então uma base para o nosso plano seria:

1,0 , 2 , 0,1 , - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, como eu falei antes agora temos duas formas de seguir em frente. Na minha opinião usando mínimos quadrados sai mais rápido, mas isso fica a seu critério! Vamos usar mínimos quadrados então:

A T A z = A T b

onde:

A = 1 0 0 1 2 - 2   e   b = 3 1 - 5

1 0 2 0 1 - 2 1 0 0 1 2 - 2 z = 1 0 2 0 1 - 2 3 1 - 5

5 - 4 - 4 5 z = - 7 11

5 - 4 - 4 5 - 7 11 → L 2 ← L 2 + 4 L 1 5 5 - 4 0 9 5 - 7 27 5

Então temos as equações

9 y 5 = 27 5

y = 3

5 x - 12 = - 7

5 x = 5

x = 1

Logo,

z = 1 3

Passo 3

Agora para acharmos o vetor projeção fazemos A z :

1 0 0 1 2 - 2 1 3 = 1 3 - 4

Somando as coordenadas:

1 + 3 - 4 = 0

Resposta

Letra ( c )

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