Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

A3 T15

Seja S = x , y , z ∈ R 3 - 2 z + 2 y + x = 0 e b = 1,1 , 2 . A soma das coordenadas do vetor de S mais próximo de b é:

( a ) 34 9

( b ) 4 3

( c ) 37 9

( d ) 26 9

Passo 1

O vetor de S mais próximo de b é justamente a projeção de b sobre S concorda? Então é só aplicarmos nossa fórmula mágica haha. Primeiro precisamos de um conjunto gerador para S :

S : - 2 z + 2 y + x = 0

x = - 2 y + 2 z

- 2 y + 2 z , y , z = y - 2,1 , 0 + z 2,0 , 1

S = - 2,1 , 0 , 2,0 , 1

Agora jogamos esses vetores nas colunas de uma matriz A e definimos b como o vetor que estamos projetando:

A = - 2 2 1 0 0 1

b = 1 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é só jogarmos tudo na fórmula A T A z = A T b :

- 2 1 0 2 0 1 - 2 2 1 0 0 1 z = - 2 1 0 2 0 1 1 1 2

5 - 4 - 4 5 z = - 1 4

5 - 4 - 4 5 - 1 4 → L 2 ← 5 L 2 + 4 L 1 5 - 4 0 9 - 1 16

y = 16 9

5 x - 4 y = - 1

5 x - 4 16 9 = - 1

5 x = 55 9

x = 11 9

z = 11 9 16 9

Passo 3

Pra finalizar agora é só fazermos A z :

P S b = A z = - 2 2 1 0 0 1 11 9 16 9 = 10 9 11 9 16 9

Somando as coordenadas:

10 9 + 11 9 + 16 9 = 37 9

Resposta

Letra ( c )

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