Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

A3 T15 T12

Seja H um subespaço de V e w → ∈ V . Sejam u → e v → as projeções de w → em H e H ⊥ , respectivamente:

  1. w → = u → + v →
  2. w → = u → + v →

a   I é verdadeira, mas I I é falsa

b   I e I I são verdadeiras

c   I e I I são falsas

d   I é falsa, mas I I é verdadeira

Passo 1

Afirmativa I :

Opa, lembra de quando aprendemos a calcular a matriz projeção usando mínimos quadrados? E eu mostrei esse desenho pra vocês:

Pois então, repare que nele não estão definidas as dimensões de H e H ⊥ ! Então na real ele vale para qualquer espaço, não só o   R 2 que está desenhado haha. Então temos que a soma das projeções de um vetor em H e H ⊥ dará sempre o próprio vetor! Logo, essa é verdadeira.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Afirmativa I I :

Pra essa podemos lembrar de Pitágoras! Sabemos que a equivalência correta seria:

w → 2 = u → 2 + v → 2

Maaas, se você não tiver essa sacada geométrica de que a projeção sobre um espaço e seu complemento ortogonal forma um triângulo retângulo, pode resolver algebricamente também! Se liga:

O módulo da projeção de um vetor w → sobre um espaço é dado por:

P H w = w → c o s ⁡ θ

Onde θ é o ângulo entre o vetor w → e nosso espaço H . Nesse caso qual seria o módulo da projeção de w → sobre H ⊥ ? Bom, como H é ortogonal a H ⊥ o ângulo entre eles é de 90 ° . Se o ângulo entre w → e H é de θ , então o àngulo entre w → e H ⊥ tem que ser 90 - θ , logo:

P H ⊥ w = w → cos ⁡ 90 - θ = w → s e n ⁡ θ

A afirmativa diz que:

w → = u → + v → = w → c o s ⁡ θ + w → s e n ⁡ θ

Assumindo que w → ≠ 0 , temos:

1 = c o s ⁡ θ + s e n ⁡ θ

O que não é verdade, logo essa é falsa.

Resposta

Letra ( a )

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