Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

A3 T2 T12 T15

Sejam w → e v → vetores do R 2 e θ o ângulo entre eles:

  1. Se w → cos ⁡ θ = v → , então w → - v → é ortogonal ao vetor v →
  2. Se os componentes de v → são todos menores que 1 , em módulo, então v → < 1

a   Ambas são verdadeiras.

b   Ambas são falsas.

c   I é verdadeira e I I é falsa.

d I é falsa e I I é verdadeira.

Passo 1

Afirmativa I :

Lembram que quando projetamos ortogonalmente o vetor w → o módulo da sua projeção é dado por:

P H w → = w → cos ⁡ θ

Logo, o que essa afirmativa ta falando é que v → é a projeção de w → sobre algum subespaço que faz um ângulo θ com w → . Agora se liga nessa imagem:

Nesse caso w → seria nosso vetor b e v → seria nosso P H b . Nesse caso podemos ver que w → - v → é a projeção de w → sobre H ⊥ , que naturalmente vai ser ortogonal a v → já que ele é a projeção sobre H . Então essa afirmativa é verdadeira.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Afirmativa I I :

Essa eu vou te provar que é falsa. Pega v → sendo:

v → = 0.9,0.9

v → = 0.9 2 + 0.9 2 = 2 ∙ 0.9 2 = 0.9 ∙ 2 ≅ 1.27

Pronto, deu maior que 1 !

Resposta

Letra ( c )

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