Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

Projeção e Reflexão Ortogonal e Mínimos Quadrados

  ( c ) Sejam H = s p a n { 1,1 , 0 , 0,1 , 1 } e P H : R 3 ⟶ R 3 a projeção ortogonal sobre H . Use o método dos mínimos quadrados para calcular P H ( 1,1 , 1 ) .

Passo 1

Bom, se queremos projetar algo sobre um espaço usando mínimos quadrados, devemos fazer A z . E para encontrar quem é z devemos resolver o sistema dos mínimos quadrados que é:

A T A z = A T b

Vamos definir quem é A ,   b :

Para saber quem é A devemos pegar uma base de H e botar as colunas da matriz dos mínimos quadrados:

A = 1 0 1 1 0 1

E a transposta:

A t = 1 1 0 0 1 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O vetor b , será o vetor que você quer projetar. Ou seja:

b = 1 1 1

Passo 3

Agora, basta efetuarmos as contas:

1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 z = 1 1 0 0 1 1 1 1 1 ⇒

2 1 1 2 x y = 2 2

Só pra você fica ligado, ali em cima chamamos z = x y

Montando o sistema:

2 x + y = 2   ( I ) x + 2 y = 2   ( I I )

Fazendo - 2 I + ( I I ) :

- 3 x = - 2 ⇒ x = 2 3

E substituindo em ( I I ) :

2 3 + 2 y = 2 ⇒ 2 y = 4 3 ⇒ y = 2 3  

Passo 4

Ainda não acabou! Falta calcular a projeção! Para isso, basta fazer:

A z = 1 0 1 1 0 1 2 3 2 3 = 2 3 4 3 2 3

E assim, P H 1,1 , 1 = 2 3 , 4 3 , 2 3 .

Resposta

P H 1,1 , 1 = 2 3 , 4 3 , 2 3

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