Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

A3 T15

Sejam A = 1 5 0 - 1 0 4 1 1 - 1 3 2 3 - 4 0 5 9 e b → = - 2 - 1 - 8 3 . Use o fato de que x → = 2 - 1 0 1 T é uma solução no sentido dos mínimos quadrados de A x → = b → para calcular P I m A b → , a projeção ortogonal de b → sobre o espaço-coluna de A .

( a ) - 1 2 2 - 3 T

( b ) 2 - 1 0 1 T

( c ) 2 2 - 6 2 T

( d ) - 4 - 3 - 2 1 T

Passo 1

Se liga, o que fazemos quando queremos achar a projeção sobre um espaço H usando mínimos quadrados?

Primeiro achamos um conjunto gerador de H e jogamos nas colunas da nossa matriz, certo? Mas nesse caso, nosso H é a I m A e já temos um conjunto gerador nas colunas de A (já que a I m A é justamente a combinação linear delas)!!

Depois resolvemos o sistema no sentido de mínimos quadrados e achamos um z , que aqui ele chama de x → . Então já temos isso também:

x → = 2 - 1 0 1

No final, fazemos A z , ou, nesse caso, A x → para acharmos a projeção:

1 5 0 - 1 0 4 1 1 - 1 3 2 3 - 4 0 5 9 2 - 1 0 1 = - 4 - 3 - 2 1

Então nossa resposta é a letra d .

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Resposta

Letra ( d )

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