Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

Projeção e Reflexão Ortogonal e Mínimos Quadrados

À questão “Em R 3 , determine a projeção ortogonal de b = ( 1,0 , 0 ) sobre o plano gerado pelos vetores u = ( 1,1 , 1 ) e v = ( 0,0 , 1 ) ”, Andrezinho respondeu da seguinte maneira:

a   Defina o que é a projeção ortogonal P H : R n ⟶ R n sobre um subespaço H ⊂ R n .

b   Determine a projeção ortogonal de b sobre o plano S p a n { u , v } .

c   Andrezinho respondeu que a projeção ortogonal de b é um vetor w de R 2 ! Explique o erro de Andrezinho e a que vetor w corresponde.

d   Calcule a distância de b à sua projeção sobre o plano S p a n { u , v } .

Passo 1

Letra ( a )

Basta trocar o espaço vetorial V por H e V ⊥ por H ⊥ .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra ( b )

Poderíamos calcular a transformação linear P H , entretanto daria muito mais trabalho visto que no enunciado já começaram a calcular por mínimos quadrados. Assim sendo, vamos continuar o raciocínio de Andrezinho.

Sabemos que nos mínimos quadrados:

A T A w = A T b

A projeção é calcula da seguinte forma:

A w = b '

Assim, o vetor w seria a solução dos mínimos quadrados e não a projeção do vetor em si.

Assim, basta fazer:

1 0 1 0 1 1 ⋅ 1 2 - 1 2 = 1 2 1 2 0

Assim, o vetor projeção b ' é b ' = 1 2 , 1 2 , 0 .

Passo 3

Letra ( c )

Andrezinho errou, ao falar que a projeção de um vetor do R 3 dá um vetor no R 2 , logo Andrezinho não sabe usar o método dos mínimos quadrados.

Podemos dizer que o vetor w significa a solução dos mínimos quadrados que melhor aproximaria a solução do sistema original, ou também que w carrega as coordenadas do vetor b ' = 1 2 , 1 2 , 0 na base α = { u , v } .

Passo 4

Letra ( d )

Sabemos que a distância entre dois vetores u , v ,por exemplo, é calculada da seguinte forma:

‖ u - v ‖

Assim para saber a distância pedida no enunciado basta fazer:

A w - b

Se você estiver com dificuldade de visualizar, basta fazer o desenho e depois a regra do paralelogramo! É mais ou menos isso aqui:

Assim o vetor distância é:

1 2 , 1 2 , 0 - 1,0 , 0 = - 1 2 , 1 2 , 0

Portanto, a distância em si é dada por:

- 1 2 , 1 2 , 0 = 1 4 + 1 4 + 0 = 2 2

Resposta

( b )   b ' = 1 2 , 1 2 , 0 ;

( c ) Projeção e uso dos mínimos quadrados;

( d )   A w - b = 2 2 .

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