Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

A3 T15

Calcule a projeção ortogonal do vetor 3 , 2,3 no plano gerado pelos vetores 2,1 , - 2 e 1,1 , - 1 :

( a ) - 1 4

( b ) 0 3 1

( c ) 0 2 0

( d ) 0 1 - 1

Passo 1

Só aplicar a fórmula né? Temos que:

A = 2 1 1 1 - 2 - 1

b = 3 2 3

A T A z = A T b

2 1 - 2 1 1 - 1 2 1 1 1 - 2 - 1 z = 2 1 - 2 1 1 - 1 3 2 3

9 5 5 3 z = 2 2

Resolvendo o sistema:

9 5 5 3 2 2 → L 2 ← L 2 - 5 L 1 9 9 5 0 2 9 2 8 9

Temos que:

2 y = 8 ⇒ y = 4

9 x + 5 y = 2 ⇒ 9 x = - 18 ⇒ x = - 2

Logo, z = - 2,4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra acharmos a projeção agora basta resolvermos A z :

A z = 2 1 1 1 - 2 - 1 - 2 4 = 0 2 0

Logo, a letra c é a resposta.

Resposta

Letra ( c )

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