Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

A3 T15

Sejam A uma matriz quadrada e H a imagem de A . É dado que a solução geral do sistema A T A x → = A T b → é x → p + t x → h , t ∈ R , com x → h ≠ 0 → . É correto afirmar que P H b → , a projeção ortogonal de b → sobre H é sempre igual a:

( a ) A x → h - 4 x → p

( b ) A x → p - 2 x → h

( c ) x → p

( d ) x → h

Passo 1

Vamos por partes. Temos que H é a imagem de A . Ou seja, os vetores geradores de H estão nas colunas de A . Em seguida o cara resolve o sistema A T A x → = A T b → e chega na uma solução geral x → p + t x → h , t ∈ R .

Po, ele fez todo o procedimento de mínimos quadrados pra gente!! Jogou os geradores de H nas colunas de uma matriz, calculou o sistema e encontrou lá a solução. Qual o último passo que falta para encontrarmos P H b ?

Falta só multiplicarmos esse vetor solução por A né?! E qual a única opção que faz isso?

Na c e d nem aparece a matriz A ! Então essas estão fora. E a letra a não está de acordo com a nossa solução geral encontrada né. Temos o escalar - 4 multiplicando o x → p , quando de acordo com a solução x → p + t x → h , t ∈ R ele deveria sempre aparecer sozinho.

Então só sobrou a b pra ser a certa.

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Resposta

Letra ( b )

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