Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

UFRJ-P4-2015.2.1

Seja { a 1 → , a 2 → , … , a n → } uma base do subespaço H ⊂ R m e defina a matriz A m × n cuja j-ésima coluna é a j → . A projeção ortogonal de um vetor b → sobre um subespaço H ,   P H ( b → ) , é dada por:

a   A T A - 1 A T b →

b   I - A A T A - 1 A T b →

c   I - A T A - 1 A T b →

d   A A T A - 1 A T b →

Passo 1

Bom, pelas respostas sabemos que o enunciado está utilizando mínimos quadrados para projetar o vetor. Vamos dar uma relembrada rapidinho no método:

A T A z → = A T b →

Isso é penas o método dos mínimos quadrados. Sabemos que a projeção é somente:

P H b → = A z →

Mas repare que se você isolar o z nos mínimos quadrados, teremos:

z → = A T A - 1 A T b →

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se você perceber, temos esse termo A T A - 1 A T b → escrito em todas as letras, agora basta irmos substituindo e vermos o termo que vai dar A z → , afinal P H b → = A z → .

Se fizermos isso na letra ( a ) teremos apenas z → , que não é a projeção de b → .

Se fizermos isso na letra ( b ) , vamos ter I - A z → que também não é a projeção de b → .

Na letra ( c ) também vamos ter apenas I - z →

Entretanto na letra ( d ) , teremos A z → que é exatamente a projeção de b → !

Resposta

Letra ( d )

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