Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

PUCRIO-P2-2015.1-2c

Sejam H = s p a n 1 , 1,0 , 0,1 , 1 e P H : R 3 ⟶ R 3 a projeção ortogonal sobre H . Use o método dos mínimos quadrados para calcular P H ( 1,1 , 1 ) .

Passo 1

Definimos a matriz A e o vetor b como:

A = 1 0 1 1 0 1 ; b = 1 1 1

Sendo assim,

A T = 1 1 0 0 1 1

Agora basta aplicarmos mínimos quadrados:

A T A z = 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 z = 1 1 0 0 1 1 1 1 1 = A T b

2 1 1 2 z = 2 2

Montando o sistema:

2 x 1 + x 2 = 2 x 1 + 2 x 2 = 2       I I I

Fazendo - 2 I + ( I I ) :

- 3 x 1 = - 2 ⇒ x 1 = 2 3

E substituindo em ( I I ) :

2 3 + 2 x 2 = 2 ⇒ 2 x 2 = 4 3 ⇒ x 2 = 2 3  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ainda não acabou! Falta calcular a projeção! Para isso, basta fazer:

P H b = A z = 1 0 1 1 0 1 2 3 2 3 = 2 3 4 3 2 3

E assim, P H 1 , 1,1 = 2 3 , 4 3 , 2 3

Resposta

P H 1,1 , 1 = 2 3 , 4 3 , 2 3

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