Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

A3 T2 T17 T15

Seja P o ponto do plano π : 2 x - y + z = 0 mais próximo de Q = 0,9 , - 3 . A distância de P a Q é:

( a ) 3 7

( b ) 66

( c ) 2 6

( d ) 3 2

Passo 1

Antes de sabermos a distância entre P e Q , precisamos encontrar P haha. Para isso, precisamos projetar. Vamos fazer o seguinte aqui, ao invés de usarmos a fórmula de mínimos quadrados direto, vou mostrar um caminho meio obscuro mas que vai ser bem mais rápido!

Ao invés de projetarmos sobre o plano, vamos projetar sobre a reta perpendicular que é dada pelo vetor:

2 , - 1,1

Como estamos projetando em uma direção, podemos usar a fórmula do produto interno:

P 2 , - 1,1 0,9 , - 3 = 0,9 , - 3 , 2 , - 1,1 2 , - 1,1 , 2 , - 1,1 2 , - 1,1 = - 12 6 2 , - 1,1 = - 4,2 , - 2

Agora lembra dessa imagem aqui:

Repara que a distância entre b , e sua projeção em H , é justamente a projeção de b sobre H ⊥ , que foi o que encontramos! Então agora só precisamos achar a norma disso.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora para acharmos a distância fazermos:

- 4,2 , - 2 = 16 + 4 + 4 = 24 = 2 6

Resposta

Letra ( c )

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