Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

A3 T15

Seja H o conjunto solução do sistema

2 x - y + z = 0 x - y = 0

Compute a projeção ortogonal de 1 , 0 , - 2 sobre H ⊥ .

( a ) 1,1 , - 1

( b ) 0 , - 1 , - 1

( c ) 0 , - 1 2 , - 1 2

( d ) 1 3 , 1 3 , - 1 3

Passo 1

Repare que o conjunto solução H do sistema é uma reta. Temos 2 equações e 3 variáveis, o que implica em 1 variável livre.

Ele quer a projeção ortogonal sobre H ⊥ , ou seja, o plano ortogonal à essa reta. E podemos obter os vetores geradores desse plano simplesmente usando os coeficientes das equações! Assim oh:

2 x - y + z = 0 ⇒ 2 , - 1,1 x - y = 0 ⇒ 1 , - 1,0

H ⊥ = 2 , - 1,1 , 1 , - 1,0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é só jogarmos na fórmula da projeção:

A = 2 1 - 1 - 1 1 0

b = 1 0 - 2

A T A z = A T b

2 - 1 1 1 - 1 0 2 1 - 1 - 1 1 0 z = 2 - 1 1 1 - 1 0 1 0 - 2

6 3 3 2 z = 0 1

6 3 3 2 0 1 → L 2 ← 2 L 2 - L 1 6 3 0 1 0 2

y = 2

6 x + 3 y = 0

6 x = - 6

x = - 1

z = - 1 2

Passo 3

Para acharmos a projeção agora é só fazermos:

P H ⊥ b = A z = 2 1 - 1 - 1 1 0 - 1 2 = 0 - 1 - 1

Resposta

Letra ( b )

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