Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

A3 T15

A projeção ortogonal do vetor 13 , - 12 , - 14 sobre o plano z = 4 x - 5 y é o vetor:

a   1,3 , - 11

b   12 , - 15 , - 3

c   4 , - 5 , - 1

d   6 , - 5,7

Passo 1

Essa é só seguir a receita de bolo! Primeiro achamos uma base para o plano:

z = 4 x - 5 y

x , y , 4 x - 5 y = x 1,0 , 4 + y 0,1 , - 5

Em seguida jogamos os vetores dessa base nas colunas de uma matriz A :

A = 1 0 0 1 4 - 5

E definimos o vetor b como aquele que estamos projetando:

b = 13 - 12 - 14

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, resolvemos:

A T A z = A T b

1 0 4 0 1 - 5 1 0 0 1 4 - 5 z = 1 0 4 0 1 - 5 13 - 12 - 14

17 - 20 - 20 26 z = - 43 58

17 - 20 - 10 13 - 43 29 → L 2 ← L 2 + 10 L 1 17 17 - 20 0 21 17 - 43 63 17

Temos que:

21 y 17 = 63 17 ⇒ y = 3

17 x - 20 y = - 43 ⇒ 17 x = 17 ⇒ x = 1

Logo,

z = 1 3

Passo 3

Por fim, resolvemos A z :

A z = 1 0 0 1 4 - 5 1 3 = 1 3 - 11

Resposta

Letra ( a )

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