Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

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Enunciado

Considere o produto interno usual de R 3 . Calcule a projeção ortogonal do vetor 3,3 , 0 no plano x + y + z = 0

a   2 3 , 2 3 , - 4 3

( b ) 1 3 , 1 3 , - 2 3

( c ) 4 3 , 4 3 , - 8 3

( d ) 1,1 , - 2

Passo 1

O jeito mais rápido é projetarmos na reta ortogonal ao plano (já que estamos no R 3 ) e depois encontrarmos a projeção no plano fazendo o vetor menos a projeção na reta. Sabemos que o vetor 1,1 , 1 é perpendicular ao plano (suas coordenadas são iguais aos coeficientes da equação do plano).

Agora é só usarmos a fórmula. A projeção de 3,3 , 0 sobre 1,1 , 1 é:

P 1,1 , 1 3,3 , 0 = 3,3 , 0 , 1,1 , 1 1,1 , 1 , 1,1 , 1 1,1 , 1 = 6 3 1,1 , 1 = 2,2 , 2

Agora para acharmos a projeção no plano. Seja H o plano x + y + z = 0 :

P H 3,3 , 0 = 3,3 , 0 - P 1,1 , 1 3,3 , 0 = 3,3 , 0 - 2,2 , 2 = 1,1 , - 2

Resposta

Letra ( d )

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