Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

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Enunciado

Considere o produto interno usual do R 4 . Calcule a projeção ortogonal do vetor 0 , 0,1 , 0 à reta na direção do vetor 1,1 , 1,1 :

( a ) 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2

( b ) 3 4 , 3 4 , 3 4 , 3 4

( c ) 1 4 , 1 4 , 1 4 , 1 4

( d ) 1,1 , 1,1

Passo 1

Queremos projetar sobre o espaço H = s p a n 1 , 1,1 , 1 . Então vamos definir:

A = 1 1 1 1 ⇒ A T = 1 1 1 1

b = 0 0 1 0

Agora resolvemos o sistema A T A z = A T b :

1 1 1 1 1 1 1 1 z = 1 1 1 1 0 0 1 0

4 z = 1

z = 1 4

Temos que P H b = A z :

P H b = 1 1 1 1 1 4 = 1 4 1 4 1 4 1 4 T

Resposta

Letra ( c )

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