Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 162 – Prob 5.5 Adaptado

Determine as matrizes das Equation Equation

Equation , projeção ortogonal na reta Equation

Equation , projeção ortogonal sobre o plano Equation

Equation , projeção ortogonal na reta Equation

Equation , projeção ortogonal no plano Equation

Passo 1

Equation É pedida a matriz que representa a projeção sobre a reta gerada pelo vetor Equation .

A fórmula da matriz projeção sobre a direção de um vetor Equation é dada por:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Equation Queremos achar um a projeção sobre um plano no Equation . Repare que o complemento ortogonal do plano será uma reta. Logo, podemos usar nossa fórmuleta!

Da equação do plano, podemos encontrar o vetor gerador da reta ortogonal à ele:

Equation

Equation

Vamos achar a matriz que representa a projeção sobre essa reta:

Equation

Para encontrarmos a matriz que projeta sobre o plano basta fazermos:

Equation

Equation

Passo 3

Equation Primeiro passo é achar o vetor que gera essa reta. Temos pela equação da mesma que:

Equation

Logo, o vetor genérico é da forma Equation . Ou seja, é uma projeção na direção do vetor Equation . E temos uma fórmula pra isso ;)

Equation

Passo 4

Equation Queremos achar um a projeção sobre um plano no Equation . Repare que o complemento ortogonal do plano será uma reta. Logo, podemos usar nossa fórmuleta!

Da equação do plano, podemos encontrar o vetor gerador da reta ortogonal à ele:

Equation

Equation

Vamos achar a matriz que representa a projeção sobre essa reta:

Equation

Para encontrarmos a matriz que projeta sobre o plano basta fazermos:

Equation

Equation

Resposta

Equation

Equation

Equation

Equation

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