Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

UFRJ-P4-2015.2.1

Seja { a 1 , a 2 , , a n } uma base do subespaço H R m e defina a matriz A m × n cuja j-ésima coluna é a j . A projeção ortogonal de um vetor b sobre um subespaço H ,   P H ( b ) , é dada por:

a   A T A - 1 A T b

b   I - A A T A - 1 A T b

c   I - A T A - 1 A T b

d   A A T A - 1 A T b

Passo 1

Bom, pelas respostas sabemos que o enunciado está utilizando mínimos quadrados para projetar o vetor. Vamos dar uma relembrada rapidinho no método:

A T A z = A T b

Isso é penas o método dos mínimos quadrados. Sabemos que a projeção é somente:

P H b = A z

Mas repare que se você isolar o z nos mínimos quadrados, teremos:

z = A T A - 1 A T b

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se você perceber, temos esse termo A T A - 1 A T b escrito em todas as letras, agora basta irmos substituindo e vermos o termo que vai dar A z , afinal P H b = A z .

Se fizermos isso na letra ( a ) teremos apenas z , que não é a projeção de b .

Se fizermos isso na letra ( b ) , vamos ter I - A z que também não é a projeção de b .

Na letra ( c ) também vamos ter apenas I - z

Entretanto na letra ( d ) , teremos A z que é exatamente a projeção de b !

Resposta

Letra ( d )

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