Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

UFRJ, Álgebra Linear, P4 - 2015.2.1, Questão 01

Seja Equation uma base do subespaço Equation e defina a matriz Equation cuja j-ésima coluna é Equation . A projeção ortogonal de um vetor Equation sobre um subespaço Equation , é dada por:

Equation

Equation

Equation

Equation

Passo 1

Bom, pelas respostas sabemos que o enunciado está utilizando mínimos quadrados para projetar o vetor. Vamos dar uma relembrada rapidinho no método:

Equation

Isso é apenas o método dos mínimos quadrados. Sabemos que a projeção é somente:

Equation

Mas repare que se você isolar o Equation nos mínimos quadrados, teremos:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se você perceber, temos esse termo Equation escrito em todas as letras, agora basta irmos substituindo e vermos o termo que vai dar Equation , afinal Equation .

Se fizermos isso na letra Equation teremos apenas Equation , que não é a projeção de Equation .

Se fizermos isso na letra Equation , vamos ter Equation que também não é a projeção de Equation .

Na letra Equation também vamos ter apenas Equation .

Entretanto na letra Equation , teremos Equation que é exatamente a projeção de Equation !

Resposta

Letra Equation

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