Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

UFRJ, Álgebra Linear, P4 - 2013.2, Questão 07

Seja Equation o ponto do plano Equation mais próximo de Equation . A distância de Equation a Equation é:

Equation Equation

Equation Equation

Equation Equation

Equation Equation

Passo 1

Antes de sabermos a distância entre Equation e Equation , precisamos encontrar Equation haha. Para isso, precisamos projetar. Vamos fazer o seguinte aqui, ao invés de usarmos a fórmula de mínimos quadrados direto, vou mostrar um caminho meio obscuro mas que vai ser bem mais rápido!

Ao invés de projetarmos sobre o plano, vamos projetar sobre a reta perpendicular que é dada pelo vetor:

Equation

Como estamos projetando em uma direção, podemos usar a fórmula do produto interno:

Equation

Agora lembra dessa imagem aqui:

Repara que a distância entre Equation , e sua projeção em Equation , é justamente a projeção de Equation sobre Equation , que foi o que encontramos! Então agora só precisamos achar a norma disso.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora para acharmos a distância fazermos:

Equation

Resposta

Letra Equation

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