Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

UFRJ, Álgebra Linear, P3 - 2018.2, Questão 3

Seja e Equation e

tal que Equation . Então a projeção ortogonal de Equation sobre a imagem de Equation é:

(a) Equation

(b) Equation

(c) Equation

(d) Equation

Passo 1

Bom, lembra do método dos mínimos quadrados??

A gente tinha essa formulazinha:

Equation

Nela, A é uma matriz cujas colunas formam o espaço em que a gente quer projetar, Equation é o vetor que a gente quer projetar e Equation é um vetor cujas entradas dão a melhorar projeção e é também a nossa incógnita.

A gente viu que, quando a gente encontra o z e multiplica de volta pela matriz A, obtemos a projeção de Equation no espaço gerado pelas colunas de A.

Mas lembra que o espaço gerado pelas colunas de A também é mais conhecido como imagem de A!

Então o que a gente quer achar na verdade é:

Equation

Mas como a gente faz isso com os dados do enunciado??

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar manipulando um pouco a fórmula de mínimos quadrados.

Equation

Multiplicando à esquerda dos dois lados por Equation

Equation

Mas:

Equation

Então:

Equation

E foi isso que o enunciado deu pra gente né!

Equation

Então é só fazer:

Equation

Resposta

(a) Equation

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