Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados

Encontre o modelo quadrático da forma y = a x 2 + b x que melhor se ajusta (no sentido dos mínimos quadrados) aos dados experimentais da tabela abaixo. Assinale o valor do coeficiente a.

(a) 1

(b) 2

(c) -1

(d) -2

Passo 1

Os dados da tabela devem satisfazer a equação y = a x 2 + b x .

Vamos tentar montar um sistema linear com eles:

- 13.9 = a - 2 2 + b - 2 - 5.4 = a - 1 2 + b - 1 0.6 = a 1 2 + b 1 - 1.9 = a 2 2 + b 2

4 a - 2 b = - 13.9 a - b = - 5.4 a + b = 0.6 4 a + 2 b = - 1.9

Se a gente tentar resolver esse sistema, vamos ver que ele não tem solução!

Logo, como foi pedido no enunciado, vamos precisar achar os valores de a e b que melhor ajustam os dados através do método dos mínimos quadrados.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos precisar resolver então:

A T A z = A T b

onde A é a matriz dos coeficientes, b é o lado direito e z é um vetor cujas entradas que dão a melhor aproximação, ou seja:

Montando a equação dos mínimos quadrados e resolvendo:

A T A z = A T b

34 a = - 68 10 b = 30

Portanto:

a = - 2

Resposta

(d) -2

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