Exercícios Resolvidos de Modificações gráficas

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Enunciado

Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função dada.

f x = sen ⁡ x 2 - 1 2 ,             0 ≤ x ≤ 4 π

Passo 1

Bom, o domínio é fácil, ele já deu!

0 ≤ x ≤ 4 π

Passo 2

E pra achar a imagem dessa função também vai ser fácil, basta dar um enquadro nela a partir do seno:

- 1 ≤ sen ⁡ x 2 ≤ 1

- 3 2 ≤ sen ⁡ x 2 - 1 2 ≤ 1 2

Muita calma na hora de aplicar o módulo.... Podemos ver que:

sen ⁡ x 2 - 1 2 ≤ 3 2

E pela definição de módulo, temos que:

sen ⁡ x 2 - 1 2 ≥ 0

Ou seja:

0 ≤ f x ≤ 3 2

A imagem de f é o intervalo 0 , 3 2 .

Passo 3

Agora podemos focar no esboço!

Como sempre que nos deparamos com um módulo, a primeira a coisa a fazer é se livrar dele. Não tem que ter pena não, acaba com todos esses módulos.

Então vejamos quando a inequação abaixo é respeitada: sen ⁡ x 2 - 1 2 ≥ 0

sen ⁡ x 2 ≥ 1 2

Passo 4

Agora vamos dar uma visualizada no círculo trigonométrico:

Temos que

sen ⁡ π 6 = sen ⁡ 5 π 6 = 1 2

Com

sen ⁡ x ≥ 1 2   p r a   x ∈ π 6 , 5 π 6

Passo 5

Detalhe que a função é definida em 0 ≤ x ≤ 4 π . Então também temos que considerar que

sen ⁡ 2 π + π 6 = sen ⁡ 2 π + 5 π 6 = 1 2

⇒ sen ⁡ 13 π 6 = sen ⁡ 17 π 6 = 1 2

⇒ sen ⁡ x ≥ 1 2   p r a   x ∈ 13 π 6 , 17 π 6

Portanto, considerando todo o domínio da função:

sen ⁡ x ≥ 1 2   p r a   x ∈ π 6 , 5 π 6 ∪ 13 π 6 , 17 π 6

Passo 6

Só que no caso queremos sen ⁡ x 2 ≥ 1 2 . Então temos que multiplicar os valores do intervalo por 2, aí fica:

x ∈ 2 π 6 , 10 π 6 ∪ 2 6 π 6 , 34 π 6 = π 3 , 5 π 3 ∪ 13 π 3 , 17 π 3

Mas a função só é definida em x ∈ 0 ,   4 π = 0 , 12 π 3 . Para respeitar essa condição, temos que cortar o 13 π 3 , 17 π 3 do intervalo, então só sobra π 3 , 5 π 3 :

→ sen ⁡ x 2 ≥ 1 2 ⇔ x ∈ π 3 , 5 π 3

Passo 7

Então temos que:

sen ⁡ x 2 ≤ 1 2 ⇔ x ∈ 0 , π 3 ∪ 5 π 3 ,   4 π

A partir disso podemos escrever a f sem módulo:

f x = sen ⁡ x 2 - 1 2 ,   x ∈ π 3 , 5 π 3 - sen ⁡ x 2 + 1 2 , x ∈ 0 , π 3 ∪ 5 π 3 ,   4 π

Passo 8

Agora finalmente podemos partir pro esboço!

Basta pensar no gráfico da função seno e pensar em alguns pontos que façam parte da curva. Por exemplo,

f π = sen ⁡ π 2 - 1 2 = 1 - 1 2 = 1 2

Ou:

f π 2 = sen ⁡ π 4 - 1 2 = 2 2 - 1 2 ≈ 0,7 - 0,5 = 0,2

E assim por diante.

Enfim, o esboço do gráfico vai ficar assim:

Resposta

Domínio:

0 ,   4 π

Imagem:

0 , 3 2

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