Exercícios Resolvidos de Modificações gráficas

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Enunciado

A figura abaixo mostra o gráfico da função trigonométrica f   : - 3 π ,   3 π → R

  1. Determine uma possível expressão para f .
  2. Seja T o período da função g x = sin ⁡ π x 6 . Esboce abaixo o gráfico da função g no intervalo [ - T , T ] . Indique em seu desenho as abscissas dos pontos interseção do gráfico de g com o eixo x .
  3. Determine os valores de x ∈ [ 0 ,   3 π ] para os quais

f x g x < 0

Passo 1

Letra a) Pow! Se trata aqui nesse problema de uma questão de manipulações com os gráficos já conhecidos.

A primeira coisa que a gente deve notar aí é que esse gráfico se parece muito com o gráfico de um cosseno

Porém com um menos na frente para ele ter um pico nos negativos:

Como a gente pode observar, esse gráfico sofreu um alongamento na horizontal de um termo B :

f x = - cos ⁡ ( B x )

Ele também foi esticado na vertical por um termo A :

f x = - A cos ⁡ ( B x )

E por fim, a gente observa que ele se deslocou pra cima C unidades:

f x = - A cos ⁡ B x + C

Agora basta determinar esses termos e o nosso problema acaba. Bora?!

Passo 2

Se a gente notar bem, vamos perceber que o gráfico que a gente quer determinar, basicamente dobrou de comprimento, pois a sua amplitude é 3 - - 1 = 4 , duas vezes maior que a amplitude do cosseno normal. Logo a gente pode falar que esse termo A = 2

f x = - 2 cos ⁡ B x + C

Quanto ao termo B , notamos no gráfico que tem um período de 3 π , podemos encontrar B pela sua relação com o novo período T = 3 π :

B = 2 π T

B = 2 π 3 π

B = 2 3

O termo C , basta a gente reparar que o eixo central do cosseno está deslocada uma unidade, logo C = 1 .

Portanto, a função que a gente procura é:

f x = - 2 cos ⁡ 2 3 x + 1

Passo 3

Letra b) Repare que nesse gráfico apenas temos uma mudança na horizontal da função seno. Logo, antes de mais nada, a gente deve buscar o período dessa nova função cosseno.

Pela relação do período com o termo B , podemos encontrar o período T dessa função:

B = 2 π T

Como B = π 6 nesse caso,

π 6 = 2 π T

T = 12

Passo 4

Para a gente encontrar as abscissas, basta a gente fazer y = 0 e verificar as interseções com o eixo x dentro desse intervalo [ - 12 ,   12 ] .

Note que esse seno sin ⁡ π x 6 zera em múltiplos de 6 , logo, dentro desse intervalo ele zerará em ( - 12 , - 6 ,   0 ,   6 ,   12 ) :

Passo 5

Letra c) Queremos aqui analisar o sinal da função f x g x . Pra isso vamos analisar separadamente o sinal da função f ( x ) e da g ( x ) .

Quanto a f ( x ) , devemos buscar as suas interseções com o eixo x dentro do intervalo [ - 3 π ,   3 π ] , basta fazer f x = 0 :

f x = - 2 cos ⁡ 2 3 x + 1

0 = - 2 cos ⁡ 2 3 x + 1

Isolando o cosseno...

cos ⁡ 2 3 x = 1 2

Ou seja

2 3 x = arccos ⁡ 1 2

Dentro do intervalo [ 0 ,   3 π ] , notamos que só existe dois valores que zeram a função f , logo basta encontrar os dois primeiros valores desse arco-cosseno: π 3 e 5 π 3 , logo

2 3 x = π 3 → x = π 2

2 3 x = 5 π 3 → x = 5 π 2

Ou seja

f x = 0 →     x = π 2 ,   x = 5 π 2

Passo 6

Quanto a g ( x ) , já sabemos que ela vale zero em 0 , 6 e 12. Porém, quem são esses angulos em radianos mais ou menos?

Pra fazer isto, bastamos ver a relação entre os angulos em radianos A e ângulos normais em 12, 6, e 0 utilizando a regra de três :

A π ≅ 12 3,14 → A = 3,8 π

A π ≅ 6 3,14 → A = 1,9 π

A π = 0 3,14 → A = 0

Logo, notamos que o arco 12 , está fora do intervalo que queremos avaliar, mas do arco 6 até esse 12 , temos o valor de g negativa.

Passo 7

Pela análise dos dois gráficos, podemos concluir que

Fazendo a divisão de um pelo outro, notamos que

f x g x < 0 nos intervalos de x ∈ 0 , π 2 e x ∈ 6 , 5 π 2

Resposta

  1. f x = - 2 cos ⁡ 2 3 x + 1

x ∈ 0 , π 2 ∪ 6 , 5 π 2

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