Exercícios Resolvidos de Modificações gráficas

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Enunciado

Nos exercícios 18 a 21 determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função dada.

20. f x = sen ⁡ x 2 - 1 2 ,     0 ≤ x ≤ 4 π

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo certinho??O problema está nos dando essa função daqui

f x = sen ⁡ x 2 - 1 2 ,    

Onde o enunciado nos fala que o x só existe dentro do intervalo   0 ≤ x ≤ 4 π , e nos pede para determinar o domínio, que é o conjunto dos possíveis valores de x que podem entrar nessa função; a imagem, que são os possíveis valores que a nossa função pode assumir; e ele quer também um esboço do gráfico.A nossa estratégia vai ser a seguinte: Vamos determinar o domínio olhando as restrições que a nossa função pode ter... Por exemplo, não podemos dividir por zero, tirar raiz de números negativos e etc. A imagem a gente determina conhecendo um pouco da função. Por exemplo, o seno só nos dá valores entre - 1   e 1 , certo?O esboço a gente faz olhando uma função que a gente já conhece o gráfico e ir fazendo transformações em cima desse gráfico para a gente obter a cara da nossa função.

Como na nossa função temos uma função seno aparecendo, vamos lembrar que o gráfico dessa função é esse cara aqui:

Então vamos lá resolver esse problema 😊

Passo 2

Vamos começar encontrando o domínio da nossa função

sen ⁡ x 2 - 1 2

Como a nossa função não possui nenhuma restrição, qualquer valor de x pode entrar nessa função sem problema algum. A única coisa que a gente tem que lembrar é que o enunciado já travou os valores de x para o intervalo 0 ≤ x ≤ 4 π . Então o domínio vai ser:

D o m   f = x ∈ R 0 ≤ x ≤ 4 π }

Passo 3

Para ver a imagem temos que lembrar que a função seno pode nos dar um valor máximo de 1 e o mínimo de - 1 . Isso acaba restringindo a nossa imagem. Vamos usar esses resultados nessa expressão:

sen ⁡ x 2 - 1 2

Para o maior valor do seno, teremos: 1 - 1 2   = 1 2 E para o menor valor do seno a gente tem:

- 1 - 1 2 = 3 2

Nessa última equação a gente obteve o maior valor possível da nossa expressão e por se tratar de um módulo o mínimo é 0. Então a imagem dessa função é dada por: I m   f = y   ∈ R 0 ≤ y ≤ 3 2

Passo 4

Agora, para o esboço a gente pode fazer uso do gráfico de sen ⁡ x :

A gente só não pode esquecer que temos x 2 no argumento!

O papel desse x 2 é dobrar a distância entre as repetições do gráfico. No fundo é como se a gente esticasse horizontalmente esse gráfico.Então se antes eu tinha uma subida e uma descida de x = 0 até x = 5 . Agora a gente tem uma subida só:

Passo 5

Outra transformação que surge é que precisamos subtrair 1 2 dessa função que a gente obteve o gráfico. Isso é uma transformação do tipo: f x → f x - 1 2

No esboço, isso é a mesma coisa que andar verticalmente o gráfico para baixo 1 2 unidades. Então a gente fica com isso aqui:

Passo 6

A última coisa que falta é tirar o módulo de tudo isso

f x =   sen ⁡ x 2 - 1 2

No esboço, isso é a mesma coisa que espelhar tudo que está para baixo do eixo x (valores negativos da função) para cima (valores positivos da função). Então aquelas voltinhas que estão para baixo, vão ficar para cima. Assim ó:

Mas cuidado!! O enunciado nos fala que a gente só tem valores de x   no intervalo de: 0 ≤ x ≤ 4 π

Ou seja, temos que restringir esse gráfico para esses valores de x , então temos:

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

D o m   f = x ∈ R 0 ≤ x ≤ 4 π }

I m   f = y   ∈ R 0 ≤ y ≤ 3 2

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