Exercícios Resolvidos de Modificações gráficas

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Enunciado

Nos exercícios 18 a 21 determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função dada.

21. f x = 1 2 sec ⁡ x - π 3

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo certinho??O problema está nos dando essa função daqui

f x = 1 2 sec ⁡ x - π 3    

E nos pede para determinar o domínio, que é o conjunto dos possíveis valores de x que podem entrar nessa função; a imagem, que são os possíveis valores que a nossa função pode assumir; e ele quer também um esboço do gráfico.A nossa estratégia vai ser a seguinte: Vamos determinar o domínio olhando as restrições que a nossa função pode ter... Por exemplo, não podemos dividir por zero, tirar raiz de números negativos e etc. A imagem a gente determina conhecendo um pouco da função. Por exemplo, o seno só nos dá valores entre - 1   e 1 , certo?O esboço a gente faz olhando uma função que a gente já conhece o gráfico e ir fazendo transformações em cima desse gráfico para a gente obter a cara da nossa função.

Como na nossa função temos uma função secante aparecendo, vamos lembrar que o gráfico dessa função é esse cara aqui:

Então vamos lá resolver esse problema 😊

Passo 2

Vamos começar encontrando o domínio da nossa função

1 2 sec ⁡ x - π 3

Aqui é legal a gente escrever a secante como sendo o inverso do cosseno: f x = 1 2 sec ⁡ x - π 3 = 1 2 1 cos ⁡ x - π 3

OPA!! Agora que a gente tem o cosseno no denominador, sabemos que o denominador tem que ser diferente de zero: cos ⁡ x - π 3 ≠ 0

Lembrando que o cosseno é nulo para qualquer múltiplo inteiro de π temos que: x - π 3 ≠ n   π x ≠ n   π + π 3

Onde n é 0,1 , 2,3 , …

Dessa forma o domínio da função é: D o m   f = x ∈ R   x ≠ n   π + π 3 ,     ∀ n ∈ Z

Passo 3

Para ver a imagem temos que lembrar que a função cosseno pode nos dar um valor máximo de 1 e o mínimo de - 1 . Só que na nossa expressão, o cosseno está no denominador

1 2 1 cos ⁡ x - π 3

O que acontece é que a função cosseno te dá um valor mínimo e depois, quando o cosseno vai para valores próximos de 0 , a função secante explode. Dá para ver isso no gráfico da secante:

Dessa forma, nós temos dois intervalos. O primeiro é para as curvas com concavidade voltada para cima (Aqueles que aparecem ali). Nesse trecho temos: y ∈ [ 1 , ∞ )

No outro trecho (Naqueles trechos que tem uma forma em ), temos:

y ∈ ( - ∞ , - 1 ]

Como a nossa função é a secante dividida por 2 temos a metade desses intervalos. Juntando os dois, temos que o conjunto imagem é dado por:

- ∞ , - 1 2 ∪ 1 2 , ∞

Passo 4

Agora, para o esboço a gente pode fazer uso do gráfico de se c ⁡ x :

A primeira diferença entre esse gráfico e o que a gente quer esboçar é no argumento. A função secante que temos é:

sec ⁡ x - π 3

Em relação à função sec ⁡ x temos uma transformação do tipo:

f x → f x - π 3

Isso, no esboço, é a mesma coisa que andar com o gráfico da secante horizontalmente para a direita π / 3 unidades. Então temos:

Passo 5

A última coisa que nos resta é dividir essa função por 2 . No esboço, isso só altera os valores de y . Todos eles vão ser divididos por 2 . Então temos:

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

D o m   f = x ∈ R   x ≠ n   π + π 3 ,     ∀ n ∈ Z

- ∞ , - 1 2 ∪ 1 2 , ∞

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