Exercícios Resolvidos de Modificações gráficas

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Enunciado

Nos exercícios 18 a 21 determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função dada.

19. f x = tan ⁡ x 2

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo certinho??O problema está nos dando essa função daqui

f x = tan ⁡ x 2

E está nos pedindo para determinar o domínio, que é o conjunto dos possíveis valores de x que podem entrar nessa função; a imagem, que são os possíveis valores que a nossa função pode assumir; e ele quer também um esboço do gráfico.A nossa estratégia vai ser a seguinte: Vamos determinar o domínio olhando as restrições que a nossa função pode ter... Por exemplo, não podemos dividir por zero, tirar raiz de números negativos e etc. A imagem a gente determina conhecendo um pouco da função. Por exemplo, o seno só nos dá valores entre - 1   e 1 , certo?O esboço a gente faz olhando uma função que a gente já conhece o gráfico e ir fazendo transformações em cima desse gráfico para a gente obter a cara da nossa função.

Como na nossa função temos uma tangente aparecendo, vamos lembrar que o gráfico dessa função é esse cara aqui:

Então vamos lá resolver esse problema 😊

Passo 2

Vamos começar encontrando o domínio da nossa função

f x = tan ⁡ x 2

Para falar sobre o domínio é melhor a gente escrever a tangente como sendo:

f x = tan ⁡ x 2 = sen ⁡ ( x / 2 ) cos ⁡ ( x / 2 )

OPA! Como temos uma fração, sabemos que o denominador tem que ser diferente de zero: cos ⁡ ( x / 2 ) ≠ 0

Lembrando que o cosseno é nulo para qualquer múltiplo inteiro de π temos que: x 2 ≠ n   π x ≠ 2 n π

Onde n é n = 0,1 , 2,3 , …

Dessa forma o domínio da função é: D o m   f = x   ∈ R x ≠ 2 n π } ,   ∀ n ∈ Z

Passo 3

Para ver a imagem temos que lembrar que a função tangente pode nos dá qualquer valor real. É só olhar o gráfico da tangente que a gente observa que ela não tem nenhuma limitação vertical. Ou seja, a imagem dessa função é qualquer valor real:

I m   f = { y   ∈ R }

Passo 4

Agora, para o esboço a gente pode fazer uso do gráfico de tan ⁡ x :

A gente só não pode esquecer que temos x 2 no argumento!

O papel desse x 2 é dobrar a distância entre as repetições do gráfico. No fundo é como se a gente esticasse horizontalmente essas cobrinhas que aparecem no gráfico da tangente.Então se antes eu tinha duas figuras dessas de x = 0 até x = 5 . Agora a gente tem uma só:

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

D o m   f = x   ∈ R x ≠ 2 n π } ,   ∀ n ∈ Z

I m   f = { y ∈ R }

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