Exercícios Resolvidos de Modificações gráficas

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Enunciado

Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função dada.

f x = 1 2 sec ⁡ x - π 3

Passo 1

A função secante tem domínio igual ao cosseno, com exceção do ponto que zera o denominador:

1 2 sec ⁡ x - π 3 = 1 2 ⋅ 1 cos ⁡ x - π 3

Que ocorre em:

x = π 2 + π k ,   k = 0,1 , 2,3 …

Onde essa k aparece porque a função é periódica. Dessa maneira:

D f = x ∈ R   |   x ≠ π 2 + π k ,   k = 0,1 , 2,3 …  

Passo 2

Quanto a imagem, ainda pela definição, temos que:

1 2 sec ⁡ x - π 3 = 1 2 ⋅ 1 cos ⁡ x - π 3

Como: - 1 ≤ cos ⁡ x - π 3 ≤ 1

Essa razão será sempre maior que 1 2 ou menor que - 1 2 sem outras restrições, dessa maneira a imagem será:

I m f = y ∈ R   |   y < - 1 2   o u   y > 1 2

Passo 3

Temos duas coisas aqui, uma constante que multiplica a secante. Essa constante é 1 / 2 e, uma vez menor que 1 , contrai pela metade o gráfico da secante.

Para o argumento, temos uma subtração por π / 3 que nada mais é que o deslocamento do gráfico da secante π / 3 unidades para direita.

Passo 4

Sendo o gráfico da secante:

Contraindo pela metade:

Deslocando para à direita π / 3 :

Resposta

D f = x ∈ R   |   x ≠ π 2 + π k ,   k = 0,1 , 2,3 …  

I m f = y ∈ R   |   y < - 1 2   o u   y > 1 2

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