Exercícios Resolvidos de Momento Linear Relativístico

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Enunciado

O acelerador Van de Graaff mais potente pode fornecer uma diferença de potencial (ddp) de 25 × 10 6   V . Prótons inicialmente em repouso são colocados nesse acelerador. Considere todas as medidas feitas no referencial do laboratório. Lembre-se que W   =   | q | Δ V .

  1. Determine o valor da energia total de saída de cada próton, em M e V .
  2. Ache o momento linear de cada próton, em M e V / c .
  3. Encontre a velocidade atingida pelos prótons, como fração de c.
  4. Suponha que, para outro valor de ddp no Van de Graaff, a velocidade final do próton seja 0,2c. O próton colide com um nêutron inicialmente em repouso (tome a massa do nêutron igual à massa do próton) e, pela colisão, forma-se uma única partícula no estado final (colisão totalmente inelástica). Qual é a velocidade dessa partícula?

Passo 1

Nesse caso para descobrirmos o valor da energia total de saída dos prótons devemos nos lembrar do seguinte, a fórmula do trabalho executado por uma partícula pode ser calculada de duas maneiras, a primeira é dada no próprio enunciado

W   =   | q | Δ V

Mas existe outra maneira de calcularmos o trabalho pela diferença de energia cinética da partícula, podemos escrever o nosso problema como

W = ∆ K = K f - K i

Como no enunciado é dito que os prótons estavam inicialmente em repouso, teremos que

K i = 0

logo

W = ∆ K = K f

Por fim apenas devemos nos lembrar que a energia total de uma partícula é dada pela fórmula

E = E 0 + K

Em que

E = E n e r g i a   R e l a t i v i s t i c a  

E 0 = E n e r g i a   d e   R e p o u s o = m 0 . c 2  

K = E n e r g i a   c i n e t i c a  

Reescrevendo a nossa fórmula teremos que

E = m c 2 + ∆ K

Passo 2

Olhando para o enunciado temos que

Δ V = 25   .   10 6 V = 25 M V

q = e

Substituindo teremos que

W = K f =   e 25 = 25 M e V

Passo 3

Agora olhando o formulário vemos que

m c 2 = 938   M e V

Substituindo na fórmula de energia total teremos que

E = m c 2 + ∆ K

E = 938 + 25 = 963   M e V

Passo 4

Para descobrirmos o momento linear de cada próton precisaremos nós lembrar que a fórmula que relaciona energia total do próton com momento linear é dada por

E 2 = E 0 2 + p c 2

Como o intuito é descobrir o momento linear teremos que

p c 2 = E 2 - E 0 2

Dessa forma teremos que

p = E 2 - E 0 2 C

Aqui vale ver que o enunciado nos pede exatamente o momento linear como uma divisão da energia total pela velocidade da luz, logo basta calcularmos

p = E 2 - E 0 2

Sabermos pelo enunciado que

E 0 = m . c 2 = 938   M e V  

E = 963   M e V

Substituindo teremos que

p = E 2 - E 0 2

p = 963 2 - 938 2 = 218 M e V C

Passo 5

Aqui vale lembrar outra relação que temos entre momento linear e energia total que também tem a velocidade da partícula relacionada. Nesse caso a relação é dada por

v c = p c E

Como o objetivo é determinar o valor da velocidade, basta que isolemos ela na nossa equação que teremos

v = p c 2 E

Sabemos pelos passos anteriores que

p = 218 M e V C

E = 963   M e V

Substituindo na nossa fórmula teremos que

v = p c 2 E

v = 218 M e V c c 2 963   [ M e V ]

Podemos simplificar a velocidade da luz

v = 218 M e V c 963   [ M e V ]

Com isso vemos que

v = 218 963 c

v = 0,226 c

Passo 6

Para resolver esse item precisamos lembrar do conceito de conservação de energia, para isso devemos fazer o seguinte

E a n t e s = E d e p o i s

E p r ó t o n + E n e u t r o n = E f i n a l

Já calculamos a energia do próton no primeiro passo e sabemos que

E p r ó t o n = 963   M e V

A energia do nêutron é dada por

E n e u t r o n = m c 2 = 938   M e V

Logo a energia final será

E f i n a l = 963 + 938 = 1901   M e V

Já sabemos que pra calcular a velocidade usamos a fórmula

v = p c 2 E

Como faremos para calcular o momento linear total?

Basta somarmos os momentos lineares de cada uma das partículas, com isso teremos que

p t o t a l = p p r ó t o n + p n e u t r o n

Como o nêutron estava em repouso, temos que

p n e u t r o n = 0

E já calculamos no passo 4 o valor do momento linear do próton, que é

p = 218 M e V c

Agora que já temos tudo, basta substituir na nossa fórmula, assim teremos que

v = p c 2 E

v = 218 M e V c c 2 1901   M e V

Cortando a velocidade da luz teremos que

v = 218 M e V c 1901   M e V

Logo a velocidade do sistema será

v = 0,115 c

Resposta

  1. E = 963   M e V
  2. p = 218 M e V C
  3. v = 0,226 c
  4. v = 0,115 c

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