Exercícios Resolvidos de Momento Linear Relativístico

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Enunciado

Um exoplaneta dista da Terra 6 anos luz. Uma nave N 1 , de massa 8 × 10 15   M e V / c 2 e velocidade 0,6 c , parte da Terra em direção a este planeta.

Uma outra nave N 2 , de massa 6 × 10 15   M e V / c 2 e velocidade 0,8 c , parte do planeta em direção à Terra.

Obs: unidade de tempo deve ser em anos e a unidade de energia em M e V , e as outras unidades em M e V / c , M e V / c 2

a ) Para a viagem de N 1 , quem marca o tempo próprio? Justifique a sua resposta.

b ) Quanto tempo leva esta viagem para o astronauta da N 1 ?

c ) Qual o momento linear da nave N 2 medido pela Terra?

d ) Qual a energia total de N 2 ?

e ) A nave N 1 dá pane e para. A nave N 2 então se choca acoplando-se à nave N 1 , e levando-a para a Terra. Qual é a massa de repouso do sistema composto pelas duas naves?

Passo 1

a ) Para a viagem de N 1 , quem marca o tempo próprio? Justifique a sua resposta.

Para a viagem de N 1 , qualquer intervalo de tempo medido na Terra desde a saída de N 1 do planeta até um evento qualquer deverá levar em conta os efeitos da relatividade.

Portanto, o tempo próprio deve ser estabelecido tendo como referencial inercial a nave N 1 , logo, o tempo próprio deve ser marcado por um relógio na nave N 1 .

Passo 2

b ) Quanto tempo leva esta viagem para o astronauta da N 1 ?

Pra começar, precisamos lembrar que “ x anos luz” é uma medida de espaço que corresponde a x anos viajando na velocidade da luz. Logo, a distância da Terra ao exoplaneta é dada por:

L e = 6   a n o s   l u z → L e = 6   a n o s . c

Assim, sabendo que a velocidade de N 1 é u 1 = 0,6 c , o tempo medido na Terra será:

Δ t = L e u 1 = 6   a n o s . c 0,6 c

Δ t = 10   a n o s

A equação de dilatação do tempo é dada por:

Δ t = Δ t 0 1 - u 2 c 2

Sabendo que Δ t 0 corresponde ao tempo próprio medido na nave N 1 , teremos:

10 = Δ t 0 1 - 0,6 c 2 c 2

Agora é só dar uma arrumada:

10 = Δ t 0 1 - 0,36 c 2 c 2

10 = Δ t 0 1 - 0,36

10 = Δ t 0 0,64

10 = Δ t 0 0,8

Finalmente:

Δ t 0 = 8   a n o s

Passo 3

c ) Qual o momento linear da nave N 2 medido pela Terra?

O momento linear relativístico é dado por:

p → = m u → 1 - u 2 / c 2   = γ m u →

Como estamos preocupados somente com o módulo:

p = m u 1 - u 2 / c 2 = γ m u

Onde a velocidade u corresponderá à velocidade da nave N 2 , logo:

p 2 = m 2 u 2 1 - u 2 2 / c 2

Sabendo que u 2 = 0,8 c e m 2 = 6 × 10 15   M e V / c 2 , teremos:

p 2 = m 2 × 0,8 c 1 - 0,8 c 2 c 2

p 2 = m 2 × 0,8 c 1 - 0,64 c 2 c 2

p 2 = m 2 × 0,8 c 1 - 0,64

p 2 = m 2 × 0,8 c 0,36

p 2 = m 2 × 0,8 c 0,6

Substituindo o valor da massa, teremos:

p 2 = 0,8 c 0,6 × 6 × 10 15 M e V c 2

p 2 = 8 × 10 15 M e V c

Passo 4

d ) Qual a energia total de N 2 ?

A energia relativística é dada por:

E 2 = m 2 c 2 1 - u 2 2 c 2

Substituindo u 2 = 0,8 c , teremos:

E 2 = m 2 c 2 1 - 0,8 c 2 c 2

E 2 = m 2 c 2 1 - 0,64 c 2 c 2

E 2 = m 2 c 2 1 - 0,64

E 2 = m 2 c 2 0,36

E 2 = m 2 c 2 0,6

Substituindo m 2 = 6 × 10 15   M e V / c 2 , teremos:

E 2 = c 2 0,6 × 6 × 10 15 M e V c 2

E 2 = 10 16   M e V

Passo 5

e ) A nave N 1 dá pane e para. A nave N 2 então se choca acoplando-se à nave N 1 , e levando-a para a Terra. Qual é a massa de repouso do sistema composto pelas duas naves?

Bom, a massa de repouso do sistema M s i s t está associada à energia e ao momento linear pela equação:

E s i s t 2 = p s i s t c 2 + M s i s t c 2 2

Então precisamos começar calculando a energia e o momento linear do sistema.

Passo 6

O momento linear do sistema será dado por:

p s i s t = p 1 + p 2

Antes da colisão, a nave N 1 está parada, logo p 1 = 0 . Portanto:

p s i s t = p 2

p s i s t = 8 × 10 15 M e V c

Passo 7

A energia total do sistema será a soma das energias individuais, logo:

E s i s t = E 1 + E 2

Na letra d nós encontramos E 2 = 10 16   M e V .

Como a nave N 1 está em repouso antes da colisão, a sua energia será apenas a energia em repouso, dada por:

E 1 = m 1 c 2

Substituindo o valor de m 1 , teremos:

E 1 = 8 × 10 15 M e V c 2 × c 2

E 1 = 8 × 10 15   M e V

Assim, a energia do sistema será:

E s i s t = 8 × 10 15 + 10 16

E s i s t = 1,8 × 10 16   M e V

Passo 8

Agora, sim! Vamos voltar pra equação do Passo 5.

E s i s t 2 = p s i s t c 2 + M s i s t c 2 2

Dando uma arrumada nesse cara, a massa de repouso do sistema será dada por:

M s i s t = 1 c 2 E s i s t 2 - p s i s t c 2

Agora é ser feliz.

Ah! Só um detalhe... vou só dar um jeito na unidade de medida pra não nos confundirmos nos cálculos, beleza?

M s i s t = 1 c 2 1,8 × 10 16   M e V 2 - 8 × 10 15 M e V c × c 2

M s i s t = 1 c 2 1,8 × 10 16   M e V 2 - 8 × 10 15   M e V 2

M s i s t = 1 c 2 1,8 × 10 16 2 M e V 2 - 8 × 10 15 2 M e V 2

M s i s t = 1 c 2 1,8 × 10 16 2 - 8 × 10 15 2 M e V 2

M s i s t = 1,8 × 10 16 2 - 8 × 10 15 2 M e V c 2

Agora sim! É só fazer as contas!

M s i s t = 3,24 × 10 32 - 64 × 10 30 M e V c 2

M s i s t = 3,24 × 10 32 - 0,64 × 10 32 M e V c 2

M s i s t = 2,6 × 10 32 M e V c 2

M s i s t = 2,6 × 10 16 M e V c 2

Finalmente:

M s i s t = 1,61 × 10 16 M e V c 2

Resposta

a ) O tempo próprio deve ser marcado por um relógio na nave N 1 .

b )

Δ t 0 = 8   a n o s

c )

p 2 = 8 × 10 15 M e V c

d )

E 2 = 10 16   M e V

e )

M s i s t = 1,61 × 10 16 M e V c 2

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