Exercícios Resolvidos de Momento Linear Relativístico

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Enunciado

Em relação a um referencial inercial, um elétron possui velocidade v e massa de repouso m e está em rota de colisão frontal com um pósitron em repouso.

Considere que após a colisão o par elétron-pósitron é aniquilado e surge um campo eletromagnético com um único fóton. O módulo do momento linear p e a energia E do fóton gerado são dados por:

  1. Esse processo de aniquilação não pode ocorrer na natureza.
  2. p = m v / 1 - v 2 / c 2 e E = m v c / 1 - v 2 / c 2
  3. p = m c ( 1 + 1 / 1 - v 2 / c 2 ) e E = m c 2 ( 1 + 1 / 1 - v 2 / c 2 )  
  4. p = m c / 1 - v 2 / c 2 e E = m c 2 / 1 - v 2 / c 2
  5. p = m v ( 1 + 1 / 1 - v 2 / c 2 ) e E = m v c ( 1 + 1 / 1 - v 2 / c 2 )

Passo 1

Opa, problema de colisão! Hora de usar conservação do momento linear e da energia, mas com relatividade!

Começando pelo momento linear, apenas o elétron está em movimento inicialmente, e depois só tem fóton.

γ m v = p f o t o n = E f c

Pra energia, usamos a expressão relativística da energia total, sendo que o pósitron está em repouso (então, só tem energia de repouso, com massa M que não sabemos ainda).

γ m c 2 + M c 2 = E f

Poderíamos seguir direto daqui, e acabar com o problema. Só precisaríamos saber que a massa de um pósitron é igual à massa de um elétron (ele é a “antipartícula” do elétron).

Mas isso é uma pegadinha.

Se rearrumarmos as duas equações, temos:

γ m c + M c = γ m v

v = γ m + M γ m c

Nota que o numerador é maior que o denominador. Logo, nós teríamos achado que v > c , o que é IMPOSSÍVEL!!1!1!!!111!!

O que acontece então é que é impossível esse processo ocorrer na natureza. A resposta é a letra a .

Observação:

Se você tivesse forçado e tentasse resolver, você teria achado a letra c . É difícil perceber que ela é absurda no calor da prova, mas a dica é rever seu desenvolvimento pra ver se ele fez sentido.

Quando você fizesse isso, acharia que

γ m v = γ + 1 m c

Aí provavelmente entraria em pânico. Mas não entre. Confie em si mesmo. Confie em mim, que confio em você!

Se deu um resultado absurdo, e você fez tudo certo, então esse processo é absurdo por si só!

Resposta

Letra a

Esse processo de aniquilação não pode ocorrer na natureza.

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