Exercícios Resolvidos de Momento Linear Relativístico

Ver Teoria

Enunciado

2 . O píon é uma partícula instável, com massa de repouso igual a 140   M e V / c 2 , que é facilmente produzido nas interações de raios cósmicos atingindo a atmosfera e também em colisões produzidas em laboratório. Em um referencial S , o píon é produzido na origem, se desloca com velocidade constante pelo eixo x e se desintegra na posição x = 23,7 m após 83,2 n s .

( c ) Seja agora o referencial próprio do píon, portanto aquele em que se encontra em repouso. Após ser criado, o píon se desintegra através do processo

π + → μ + + ν μ ,

ou seja, produzindo um múon ( μ + ) , que tem massa de repouso igual a 106   M e V / c 2 , e um

neutrino ( ν μ ) de massa nula. Aplique conservação de energia e conservação de momento para

encontrar qual é o momento do múon nesse referencial, em M e V / c .

Passo 1

Vamos para mas esse problema e vamos tirar ele de letra!

O enunciado já diz para usarmos a conservação de energia e de momento e é isso que vamos fazer.

Mas antes vamos avaliar nossa situação inicial e final. O enunciado diz que o píon está em repouso, logo a energia inicial do sistema só depende da energia de repouso do píon e o momento inicial do sistema vai ser zero.

Na situação final teremos a contribuição da energia do múon e do neutrino assim como no momento final.

Para esse problema vamos usar a seguinte equação que relaciona energia e momento para resolvê-lo.

E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4

Vamos então começar a analisar as conservações.

Passo 2

Primeiro vamos ver a conservação de energia, segundo o passo 1 , temos:

m π c 2 = E μ + E ν

Podemos escrever da seguinte forma então:

E ν = m π c 2 - E μ

Passo 3

Agora vamos ver a conservação do momento, temos:

0 = p μ + p ν

⇒ p μ = - p ν

Elevando os dois lados ao quadrado temos:

p μ 2 = p ν 2

Multiplicando os dois lados por c 2 , ficamos com:

p μ 2 c 2 = p ν 2 c 2

Com isso podemos usar aquela equação que falei no passo 1 . Assim ficamos com:

E μ 2 - m μ 2 c 4 = E ν 2 - m ν 2 c 4

Mas segundo o enunciado temos que m ν = 0 , logo:

E ν 2 = E μ 2 - m μ 2 c 4

Agora usando a expressão que encontramos para E ν na conservação de energia temos:

m π c 2 - E μ 2 = E μ 2 - m μ 2 c 4

⇒ m π 2 c 4 - 2 m π c 2 E μ + E μ 2 = E μ 2 - m μ 2 c 4

⇒ E μ = m π 2 + m μ 2 2 m π c 2

Passo 4

Agora para finalmente conseguirmos encontrar o momento do múon, vamos usar mais uma vez aquela equação que mostrei no passo 1 só que agora para o múon, temos:

E μ 2 = p μ 2 c 2 + m μ 2 c 4

Vamos isolar p μ já que é o que queremos, assim:

p μ = E μ 2 - m μ 2 c 4 c 2

Substituindo o que encontramos para E μ , temos:

p μ = m π 2 + m μ 2 2 4 m π 2 c 4 - m μ 2 c 4 c 2

= m π 2 + m μ 2 2 4 m π 2 c 2 - m μ 2 c 2

= c m π 2 + m μ 2 2 4 m π 2 - m μ 2

Passo 5

Vamos abrir a expressão final do passo anterior então, temos:

p μ = c m π 4 + 2 m π 2 m μ 2 + m μ 4 4 m π 2 - m μ 2

= c m π 4 + 2 m π 2 m μ 2 + m μ 4 - 4 m π 2 m μ 2 4 m π 2

c m π 4 - 2 m π 2 m μ 2 + m μ 4 4 m π 2

Reagrupando o que temos, ficamos com:

p μ = c m π 2 - m μ 2 2 4 m π 2

p μ = m π 2 - m μ 2 2 m π 2 c

Agora vamos substituir os valores que conhecemos, temos:

p μ = 140 M e V c 2 2 - 10 6 M e V c 2 2 2 140 M e V c 2 c

= 19600 M e V 2 c 4 - 11236 M e V 2 c 4 280 M e V c 2 c

Com isso temos que:

p μ = 29,87   M e V / c

Resposta

p μ = 29,87   M e V / c

Exercícios de Livros Relacionados

28. Quando você deve usar a relatividade? Como você viu, os cálculos r
29. a ) Para qual valor da velocidade o momento linear de uma partícul
A partícula K0 tem uma massa de 497,7 MeV / c2. Ele decai em π– e π +,
Mostre que a velocidade de um corpo com momento de módulo p e massa m