Exercícios Resolvidos de Momento Linear Relativístico

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Enunciado

A energia cinética K de uma partícula livre possui o quádruplo do valor de sua energia de repouso m c 2 . Encontre a sua velocidade u em função de c e obtenha o seu momento linear p em termos de m e c.

Passo 1

Para resolvermos a questão precisamos nos lembrar da fórmula de energia da partícula livre, que possui componentes do repouso e componente da parte cinética, logo, sua fórmula é

E = K + m c 2

Mas ele disse que a energia cinética da partícula livre é o quádruplo da energia de repouso, logo a fórmula passa a ser

E = 4 m c 2 + m c 2

Como queremos a energia da partícula livre teremos que

E = 5 m c 2

Passo 2

Agora precisamos determinar qual o momento linear dessa partícula e qual a velocidade u da partícula.

Para isso precisamos lembrar que a fórmula do momento linear é dada por

E = γ . m . c 2

P = γ . m . v

Colocando o momento em função da energia teremos que

γ . m = E c 2

Substituindo na potência teremos

P = E c 2 . v

Abrindo a velocidade teremos

P = E c . v c

P = β . E c

Também precisamos definir γ que é o fator de Lorentz, que pode ser escrito como

γ = 1 1 - β 2

Sabemos que podemos escrever o fator de Lorentz em função da nossa energia da seguinte maneira

γ = E m c 2

Pelo que já calculamos no item anterior temos que

E = 5 m c 2

Substituindo a fórmula teremos que

γ = 5 m c 2 m c 2 = 5

Agora falta apenas determinar o valor de β

γ = 1 1 - β 2

5 = 1 1 - β 2

Isolando o valor de β   t e r e m o s   q u e  

β ≅ 0,98

Como temos que

β = u c

Substituindo teremos que

u c = 0,98

u ≅ 0,98 c

Agora que já temos todos os valores basta substituir todos os valores calculados

P = β . E c

P = 0,98 . 5 m c 2 c = 4,9 m c

Resposta

u ≅ 0,98 c

P = 4,90 m c

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