Exercícios Resolvidos de Momento Linear Relativístico

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Enunciado

Uma partícula 1, com massa de repouso nula e energia total E 1 , move-se ao longo do eixo x e colide com outra partícula 2, com massa de repouso m e inicialmente em repouso. Após o choque, a partícula 1 inverte seu sentido do movimento e adquire energia total E , enquanto a partícula 2 é espalhada formando um ângulo α com o eixo x.

(a) Encontre o ângulo de espalhamento α .

(b) Calcule o vetor momento linear P da partícula 2 após a colisão. Expresse suas respostas apenas em função de E 1 ,   E ,   m e c .

(c) Determine a expressão para 1 E - 1 E 1 apenas em função de m   e c .

Passo 1

Essa é uma questão clássica de colisão!

O que tá acontecendo é mais ou menos isso aqui:

Vamos aplicar a conservação de energia antes e depois da colisão.

Antes das partículas colidirem, para a partícula 1 vamos ter a energia total E 1 e energia de repouso igual a 0, pois a massa de repouso dessa partícula é nula.

Além disso vamos ter a energia de repouso da partícula 2, dada por m c 2 .

E a n t e s = E 1 + m c 2

E depois da colisão?

Vamos ter a energia total da partícula 1, chamada de E , e a energia total da partícula 2, que vamos chamar de E 2 .

E d e p o i s = E + E 2

Igualando essas duas quantidades:

E a n t e s = E d e p o i s

E 1 + m c 2 = E + E 2

Agora vamos fazer a mesma coisa para o vetor momento linear.

Lembra que:

p → = γ m v →

Então como se trata de vetor, vamos dividir nas suas componentes x e y.

Para a componente x, antes de colisão temos somente momento linear para a partícula 1 (é a única que tem componente de velocidade nessa direção).

Usando a relação:

E 2 = m c 2 2 + p c 2

Podemos escrever para o momento linear em x da partícula 1:

E 1 2 = 0 c 2 2 + p 1 c 2

p 1 = E 1 c

Depois da colisão, como a partícula 1 inverte o sentido do seu movimento e tem energia total E ,   a componente de momento linear em x da partícula 1 vai ser dada por

- E c

Para a partícula 2, não sabemos quanto vale o momento linear p 2 depois da colisão, mas sabemos que sua componente x pode ser escrita como:

p 2 c o s α

Então usando a conservação de momento linear em x:

E 1 c = - E c + p 2 c o s α

Agora vamos ver a componente y do momento linear.

Antes da colisão, ela vale 0, pois a partícula 1 só tem velocidade em x e a partícula 2 se encontra parada.

Depois da colisão, a partícula 1 continua com movimento na direção do eixo x, então não vai contribuir para momento linear em y, mas não podemos afirmar o mesmo para a partícula 2.

Então vamos dizer que depois da colisão, a partícula 2 tem momento linear em y dado por:

p 2 s e n α

Fazendo a conservação:

0 = p 2 s e n α

Passo 2

(a) Olha essa última equação que acabamos de escrever:

p 2 s e n α = 0

Como p 2 ≠ 0 ,   pois a partícula 2 se movimenta, então obrigatoriamente s e n α = 0 .

Logo, α = 0 ou α = π .

Mas, pela conservação do momento linear em x, o momento linear após a colisão deve continuar sento positivo.

Por isso, e já que a partícula 1 se movimenta no sentido negativo do eixo x, partícula 2 deve se movimentar no sentido positivo de x e seu momento linear em x deve ser positivo.

Logo:

p 2 c o s α > 0

Por isso, α = 0 .  

Passo 3

(b) Pela conservação do momento linear em x:

E 1 c = - E c + p 2 c o s α

Como achamos que α = 0 , então c o s α = 1 e:

E 1 c = - E c + p 2

p 2 = 1 c E 1 + E

Como vimos que a componente em y do momento linear da partícula 2 após a colisão é nulo:

p 2 → = 1 c E 1 + E x ^

Podemos achar a energia total da partícula 2 através da equação de conservação de energia que escrevemos no Passo 1:

E 1 + m c 2 = E + E 2

E 2 = E 1 - E + m c 2

Passo 4

(c) Pela relação entre energia e momento linear relativístico:

E 2 = m c 2 2 + p c 2

Para a partícula 2 após a colisão, temos:

E 2 2 = m c 2 2 + p 2 c 2

Substituindo os valores de E 2 e p 2 que achamos antes no Passo 3:

E 1 - E + m c 2 2 = m c 2 2 + 1 c 2 E 1 + E 2 c 2

Para expandir o lado esquerdo, vamos lembrar que:

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

E vamos considerar a = E 1 + E e b = m c 2 .

Fazendo isso e simplificando:

E 1 - E 2 + 2 E 1 - E m c 2 + m c 2 2 = m c 2 2 + E 1 + E 2

2 m c 2 E 1 - E = E 1 + E 2 - E 1 - E 2

Agora, pra simplificar esse lado direito, vamos lembrar que:

a 2 - b 2 = a + b a - b

Então:

2 m c 2 E 1 - E = E 1 + E + E 1 - E E 1 + E - E 1 + E

2 m c 2 E 1 - E = 4 E 1 E

E 1 - E E 1 E = 2 m c 2

E 1 E 1 E - E E 1 E = 2 m c 2

1 E - 1 E 1 = 2 m c 2

Resposta

(a) α = 0

(b) p 2 → = 1 c E 1 + E x ^ e E 2 = E 1 - E + m c 2

(c) 1 E - 1 E 1 = 2 m c 2

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