Exercícios Resolvidos de Momento Linear Relativístico

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Enunciado

Um átomo em repouso em relação a um referencial inercial possui massa m . Num dado instante, esse átomo emite um fóton de energia m c 2 / 4 . Determine a velocidade final do átomo, em relação ao dado referencial inercial.

  1. c
  2. c / 2
  3. c / 3
  4. c / 4
  5. c / 5
  6. c / 6

Passo 1

Duas partículas se soltando, estando inicialmente em repouso, e eu querer saber a velocidade final?!

Isso parece um trabalho para conservação do momento linear e pra conservação da energia!

p → á t o m o + p → f ó t o n = 0 →

E 0 , á t o m o = E á t o m o + E f ó t o n

Antes de tomarmos conclusões usando esses dois princípios, temos que observar uma coisa: o átomo perde massa de repouso.

De fato, antes o átomo estava em repouso, tendo apenas energia de repouso. Depois, parte dessa energia se perde pra energia do fóton e parte pra energia cinética do átomo (que pela conservação do momento linear, entra em movimento).

Pra energia de repouso se perder, só perdendo massa!

Isso pode parecer estranho. Afinal, a massa de repouso do próton e a massa de repouso do elétron são sempre as mesmas! Elas não mudam nunca, são propriedades deles.

Mas a do átomo pode mudar, porque sua massa de repouso também depende da sua energia.

Assim, para o átomo:

m f ≠ m

Onde m f é a massa final do átomo e m é a massa inicial do átomo.

Passo 2

Vamos começar com a conservação do momento linear. Pela nossa igualdade com vetores, os dois têm sentidos diferentes mas mesmo módulo. Logo:

γ m v = E f ó t o n c

γ m f v = m c 2 4 c = m c 4

Ok, só temos um termo meio doido. Vamos ver a conservação da energia.

m c 2 = γ m f c 2 + E f ó t o n

m c 2 = γ m f c 2 + m c 2 4

γ m f c 2 = 3 4 m c 2

γ m f = 3 4 m

Vamos agora acoplar nossos dois resultados:

γ m f v = 3 4 m v

3 4 m v = m c 4

v = c 3

Que corresponde à letra c .

Resposta

Letra c

v = c / 3

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