Exercícios Resolvidos de Momento Linear Relativístico

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Enunciado

Um partícula de massa de repouso igual a 2   M e V / c 2 e energia cinética igual a 3   M e V ( o projétil ) colide com outra partícula ( o alvo ) que está inicialmente em repouso. A massa do alvo vale 4   M e V / c 2 .

Após a colisão, as duas partículas ficam unidas, formando uma terceira partícula.

Calcular:

a ) A energia inicial do sistema projétil + alvo.

b ) O valor do momento linear inicial do sistema projétil + alvo.

c ) A velocidade final da terceira partícula resultante da colisão.

d ) A massa de repouso da terceira partícula.

Passo 1

a ) A energia inicial do sistema projétil + alvo.

A energia total do sistema será a soma das energias do projétil e do algo, logo:

E s i s t = E p + E a

Para o projétil, a energia E p está associada à sua energia cinética K p pela expressão:

E p = K p + m p c 2

Agora ficou mais tranquilo pro nosso lado porque o problema já nos disse que a massa de repouso do projétil m p vale 2   M e V / c 2 e a sua energia cinética vale 3   M e V .

Substituindo esses caras na expressão acima, teremos:

E p = 3   M e V + 2 M e V c 2 × c 2

Obs.: Eu coloquei logo as unidades de medida aqui pra não corrermos o risco de substituir o valor de c na expressão de E p , beleza? ;)

E p = 3   M e V + 2   M e V

E p = 5   M e V

Passo 2

Vamos calcular agora a energia do alvo.

E a = K a + m a c 2

A diferença aqui é que, como o alvo está em repouso, a sua energia cinética é nula, logo:

E a = m a c 2

Onde m a = 4   M e V / c 2 .

E a = 4 M e V c 2 × c 2

E a = 4   M e V

Finalmente, a energia total do sistema será:

E s i s t = E p + E a

E s i s t = 5   M e V + 4   M e V

E s i s t = 9   M e V

Passo 3

b ) O valor do momento linear inicial do sistema projétil + alvo.

Vamos seguir a mesma lógica que usamos para a energia. Assim, o momento linear inicial do sistema será:

p s i s t = p p + p a

Como o alvo está em repouso, p a = 0 , logo:

p s i s t = p p

O momento linear relativístico é dado por:

p = γ m v

Mas como não temos nem γ e nem v , vamos nos enrolar demais se seguirmos por esse caminho. Ao invés disso, o que podemos fazer é usar a equação que relaciona a energia com o momento linear, dada por:

E p 2 = m p c 2 2 + p p c 2

Opa! Esse é um bom caminho porque já temos m p e E p .

Passo 4

Dando uma arrumada nessa expressão e isolando p p , teremos:

p p = 1 c E p 2 - m p c 2 2

Agora é só substituir os valores.

p p = 1 c 5   M e V 2 - 2 M e V c 2 × c 2 2

Obs.: Novamente, vamos dar uma arrumada nas unidades pra não corrermos o risco de substituir c na expressão de p p .

p p = 1 c 5 2 M e V 2 - 2   M e V 2

p p = 1 c 5 2 M e V 2 - 2 2 M e V 2

p p = 1 c 5 2 - 2 2 M e V 2

p p = 5 2 - 2 2   M e V c

Agora sim, podemos continuar trabalhando com os números.

p p = 25 - 4   M e V c

p p = 21   M e V c

p p = 4,58   M e V c

Finalmente:

p s i s t = 4,58 M e V c

Passo 5

c ) A velocidade final da terceira partícula resultante da colisão.

A velocidade está associada ao momento linear relativístico pela expressão:

p f = γ m f v f

Só que, dessa expressão, só temos p f porque, como o momento linear deve se conservar após a colisão:

p f = p s i s t

p s i s t = γ m f v f

v f = p s i s t γ m f

A energia relativística da partícula final após a colisão pode ser escrita como:

E f = γ m f c 2

Assim como o momento linear, a energia do sistema também deve se conservar após a colisão, logo:

E f = E s i s t

E s i s t = γ m f c 2

Então, uma estratégia aqui é calcular o valor de γ m f através da expressão da energia e substituí-lo na expressão do momento linear pra descobrir a velocidade.

Passo 6

E s i s t = γ m f c 2

γ m f = E s i s t c 2

Substituindo o valore de E s i s t , teremos:

γ m f = 9 M e V c 2

Substituindo γ m f e p s i s t na expressão de v f , teremos:

v f = p s i s t γ m f

v f = 4,58 M e V c 9 M e V c 2

Arrumando um pouco a bagunça:

v f = 4,58 M e V c × 1 9 c 2 M e V

v f = 4,58 9 c

Substituindo o valor da velocidade da luz, teremos:

v f = 4,58 × 3 × 10 8 9

Finalmente:

v f ≅ 1,53 × 10 8   m / s

Passo 7

d ) A massa de repouso da terceira partícula.

A expressão que relaciona a energia relativística com o momento linear relativística é dada por:

E f 2 = m f c 2 2 + p f c 2

Como vimos no item c :

E f = E s i s t

p f = p s i s t

Assim, isolando m f nessa expressão, teremos:

m f = 1 c 2 E s i s t 2 - p s i s t c 2

Substituindo os valores de E s i s t e p s i s t , teremos:

m f = 1 c 2 9   M e V 2 - 4,58 M e V c × c 2

Obs.: Vamos começar organizando as unidades de medida, ok?

m f = 1 c 2 9   M e V 2 - 4,58   M e V 2

m f = 1 c 2 9 2 - 4,58 2 M e V 2

m f = 9 2 - 4,58 2   M e V c 2

Agora sim, vamos mexer com os valores.

m f = 81 - 21   M e V c 2

m f = 60   M e V c 2

Pra acabar:

m f = 7,74   M e V c 2

Resposta

a )

E s i s t = 9   M e V

b )

p s i s t = 4,58 M e V c

c )

v f ≅ 1,53 × 10 8   m / s

d )

m f = 7,74   M e V c 2

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