Exercícios Resolvidos de Momento Linear Relativístico

UFRJ, Física 4, P2 - 2014.1, Questão D01

Um exoplaneta dista da Terra 6 anos luz. Uma nave Equation , de massa Equation e velocidade Equation , parte da Terra em direção a este planeta.

Uma outra nave Equation , de massa Equation e velocidade Equation , parte do planeta em direção à Terra.

Obs: unidade de tempo deve ser em anos e a unidade de energia em Equation , e as outras unidades em Equation , Equation

Equation Para a viagem de Equation , quem marca o tempo próprio? Justifique a sua resposta.

Equation Quanto tempo leva esta viagem para o astronauta da Equation ?

Equation Qual o momento linear da nave Equation medido pela Terra?

Equation Qual a energia total de Equation ?

Equation A nave Equation dá pane e para. A nave Equation então se choca acoplando-se à nave Equation , e levando-a para a Terra. Qual é a massa de repouso do sistema composto pelas duas naves?

Passo 1

Equation Para a viagem de Equation , quem marca o tempo próprio? Justifique a sua resposta.

Para a viagem de Equation , qualquer intervalo de tempo medido na Terra desde a saída de Equation do planeta até um evento qualquer deverá levar em conta os efeitos da relatividade.

Portanto, o tempo próprio deve ser estabelecido tendo como referencial inercial a nave Equation , logo, o tempo próprio deve ser marcado por um relógio na nave Equation .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Equation Quanto tempo leva esta viagem para o astronauta da Equation ?

Pra começar, precisamos lembrar que “ Equation anos luz” é uma medida de espaço que corresponde a Equation anos viajando na velocidade da luz. Logo, a distância da Terra ao exoplaneta é dada por:

Equation

Assim, sabendo que a velocidade de Equation é Equation , o tempo medido na Terra será:

Equation

Equation

A equação de dilatação do tempo é dada por:

Equation

Sabendo que Equation corresponde ao tempo próprio medido na nave Equation , teremos:

Equation

Agora é só dar uma arrumada:

Equation

Equation

Equation

Equation

Finalmente:

Equation

Passo 3

Equation Qual o momento linear da nave Equation medido pela Terra?

O momento linear relativístico é dado por:

Equation

Como estamos preocupados somente com o módulo:

Equation

Onde a velocidade Equation corresponderá à velocidade da nave Equation , logo:

Equation

Sabendo que Equation e Equation , teremos:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Substituindo o valor da massa, teremos:

Equation

Equation

Passo 4

Equation Qual a energia total de Equation ?

A energia relativística é dada por:

Equation

Substituindo Equation , teremos:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Substituindo Equation , teremos:

Equation

Equation

Passo 5

Equation A nave Equation dá pane e para. A nave Equation então se choca acoplando-se à nave Equation , e levando-a para a Terra. Qual é a massa de repouso do sistema composto pelas duas naves?

Bom, a massa de repouso do sistema Equation está associada à energia e ao momento linear pela equação:

Equation

Então precisamos começar calculando a energia e o momento linear do sistema.

Passo 6

O momento linear do sistema será dado por:

Equation

Antes da colisão, a nave Equation está parada, logo Equation . Portanto:

Equation

Equation

Passo 7

A energia total do sistema será a soma das energias individuais, logo:

Equation

Na letra Equation nós encontramos Equation .

Como a nave Equation está em repouso antes da colisão, a sua energia será apenas a energia em repouso, dada por:

Equation

Substituindo o valor de Equation , teremos:

Equation

Equation

Assim, a energia do sistema será:

Equation

Equation

Passo 8

Agora, sim! Vamos voltar pra equação do Passo 5.

Equation

Dando uma arrumada nesse cara, a massa de repouso do sistema será dada por:

Equation

Agora é ser feliz.

Ah! Só um detalhe... vou só dar um jeito na unidade de medida pra não nos confundirmos nos cálculos, beleza?

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Agora sim! É só fazer as contas!

Equation

Equation

Equation

Equation

Finalmente:

Equation

Resposta

Equation O tempo próprio deve ser marcado por um relógio na nave Equation .

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

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