Exercícios Resolvidos de Momento Linear Relativístico

UFRJ, Física 4, P2 - 2009.2, Questão 1

Um partícula de massa de repouso igual a Equation e energia cinética igual a Equation ( o projétil ) colide com outra partícula ( o alvo ) que está inicialmente em repouso. A massa do alvo vale Equation .

Após a colisão, as duas partículas ficam unidas, formando uma terceira partícula.

Calcular:

Equation A energia inicial do sistema projétil + alvo.

Equation O valor do momento linear inicial do sistema projétil + alvo.

Equation A velocidade final da terceira partícula resultante da colisão.

Equation A massa de repouso da terceira partícula.

Passo 1

Equation A energia inicial do sistema projétil + alvo.

A energia total do sistema será a soma das energias do projétil e do algo, logo:

Equation

Para o projétil, a energia Equation está associada à sua energia cinética Equation pela expressão:

Equation

Agora ficou mais tranquilo pro nosso lado porque o problema já nos disse que a massa de repouso do projétil Equation vale Equation e a sua energia cinética vale Equation .

Substituindo esses caras na expressão acima, teremos:

Equation

Obs.: Eu coloquei logo as unidades de medida aqui pra não corrermos o risco de substituir o valor de Equation na expressão de Equation , beleza? ;)

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular agora a energia do alvo.

Equation

A diferença aqui é que, como o alvo está em repouso, a sua energia cinética é nula, logo:

Equation

Onde Equation .

Equation

Equation

Finalmente, a energia total do sistema será:

Equation

Equation

Equation

Passo 3

Equation O valor do momento linear inicial do sistema projétil + alvo.

Vamos seguir a mesma lógica que usamos para a energia. Assim, o momento linear inicial do sistema será:

Equation

Como o alvo está em repouso, Equation , logo:

Equation

O momento linear relativístico é dado por:

Equation

Mas como não temos nem Equation e nem Equation , vamos nos enrolar demais se seguirmos por esse caminho. Ao invés disso, o que podemos fazer é usar a equação que relaciona a energia com o momento linear, dada por:

Equation

Opa! Esse é um bom caminho porque já temos Equation e Equation .

Passo 4

Dando uma arrumada nessa expressão e isolando Equation , teremos:

Equation

Agora é só substituir os valores.

Equation

Obs.: Novamente, vamos dar uma arrumada nas unidades pra não corrermos o risco de substituir Equation na expressão de Equation .

Equation

Equation

Equation

Equation

Agora sim, podemos continuar trabalhando com os números.

Equation

Equation

Equation

Finalmente:

Equation

Passo 5

Equation A velocidade final da terceira partícula resultante da colisão.

A velocidade está associada ao momento linear relativístico pela expressão:

Equation

Só que, dessa expressão, só temos Equation porque, como o momento linear deve se conservar após a colisão:

Equation

Equation

Equation

A energia relativística da partícula final após a colisão pode ser escrita como:

Equation

Assim como o momento linear, a energia do sistema também deve se conservar após a colisão, logo:

Equation

Equation

Então, uma estratégia aqui é calcular o valor de Equation através da expressão da energia e substituí-lo na expressão do momento linear pra descobrir a velocidade.

Passo 6

Equation

Equation

Substituindo o valore de Equation , teremos:

Equation

Substituindo Equation e Equation na expressão de Equation , teremos:

Equation

Equation

Arrumando um pouco a bagunça:

Equation

Equation

Substituindo o valor da velocidade da luz, teremos:

Equation

Finalmente:

Equation

Passo 7

Equation A massa de repouso da terceira partícula.

A expressão que relaciona a energia relativística com o momento linear relativística é dada por:

Equation

Como vimos no item Equation :

Equation

Equation

Assim, isolando Equation nessa expressão, teremos:

Equation

Substituindo os valores de Equation e Equation , teremos:

Equation

Obs.: Vamos começar organizando as unidades de medida, ok?

Equation

Equation

Equation

Agora sim, vamos mexer com os valores.

Equation

Equation

Pra acabar:

Equation

Resposta

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

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