Exercícios Resolvidos de Momento Linear Relativístico

USP, Física 4, P2 - 2018, Questão 1abc

Uma partícula 1, com massa de repouso nula e energia total Equation move-se ao longo do eixo x e colide com outra partícula 2, com massa de repouso m e inicialmente em repouso. Após o choque, a partícula 1 inverte seu sentido do movimento e adquire energia total Equation enquanto a partícula 2 é espalhada formando um ângulo Equation com o eixo x.

(a) Encontre o ângulo de espalhamento Equation .

(b) Calcule o vetor momento linear Equation da partícula 2 após a colisão. Expresse suas respostas apenas em função de Equation e Equation

(c) Determine a expressão para Equation apenas em função de Equation e Equation

Passo 1

Essa é uma questão clássica de colisão!

O que tá acontecendo é mais ou menos isso aqui:

Vamos aplicar a conservação de energia antes e depois da colisão.

Antes das partículas colidirem, para a partícula 1 vamos ter a energia total Equation e energia de repouso igual a 0, pois a massa de repouso dessa partícula é nula.

Além disso vamos ter a energia de repouso da partícula 2, dada por Equation .

Equation

E depois da colisão?

Vamos ter a energia total da partícula 1, chamada de Equation e a energia total da partícula 2, que vamos chamar de Equation

Equation

Igualando essas duas quantidades:

Equation

Equation

Agora vamos fazer a mesma coisa para o vetor momento linear.

Lembra que:

Equation

Então como se trata de vetor, vamos dividir nas suas componentes x e y.

Para a componente x, antes de colisão temos somente momento linear para a partícula 1 (é a única que tem componente de velocidade nessa direção).

Usando a relação:

Equation

Podemos escrever para o momento linear em x da partícula 1:

Equation

Equation

Depois da colisão, como a partícula 1 inverte o sentido do seu movimento e tem energia total Equation a componente de momento linear em x da partícula 1 vai ser dada por

Equation

Para a partícula 2, não sabemos quanto vale o momento linear Equation depois da colisão, mas sabemos que sua componente x pode ser escrita como:

Equation

Então usando a conservação de momento linear em x:

Equation

Agora vamos ver a componente y do momento linear.

Antes da colisão, ela vale 0, pois a partícula 1 só tem velocidade em x e a partícula 2 se encontra parada.

Depois da colisão, a partícula 1 continua com movimento na direção do eixo x, então não vai contribuir para momento linear em y, mas não podemos afirmar o mesmo para a partícula 2.

Então vamos dizer que depois da colisão, a partícula 2 tem momento linear em y dado por:

Equation

Fazendo a conservação:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(a) Olha essa última equação que acabamos de escrever:

Equation

Como Equation pois a partícula 2 se movimenta, então obrigatoriamente Equation

Logo, Equation ou Equation

Mas, pela conservação do momento linear em x, o momento linear após a colisão deve continuar sento positivo.

Por isso, e já que a partícula 1 se movimenta no sentido negativo do eixo x, partícula 2 deve se movimentar no sentido positivo de x e seu momento linear em x deve ser positivo.

Logo:

Equation

Por isso, Equation

Passo 3

(b) Pela conservação do momento linear em x:

Equation

Como achamos que Equation então Equation e:

Equation

Equation

Como vimos que a componente em y do momento linear da partícula 2 após a colisão é nulo:

Equation

Podemos achar a energia total da partícula 2 através da equação de conservação de energia que escrevemos no Passo 1:

Equation

Equation

Passo 4

(c) Pela relação entre energia e momento linear relativístico:

Equation

Para a partícula 2 após a colisão, temos:

Equation

Substituindo os valores de Equation e Equation que achamos antes no Passo 3:

Equation

Para expandir o lado esquerdo, vamos lembrar que:

Equation

E vamos considerar Equation e Equation

Fazendo isso e simplificando:

Equation

Equation

Agora, pra simplificar esse lado direito, vamos lembrar que:

Equation

Então:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Resposta

(a) Equation

(b) Equation e Equation

(c) Equation

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