Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

UFPE, Cálculo 1, 2º EE - 2016.1, Questão 1

Passo 1

a Aplicamos a derivada implícita nessa igualdade aí, com o cuidado de usar a Regra do Produto no primeiro termo e no termo do seno:

x 3 y 2 ' + x 2 ' - 5 y ' + x sen ⁡ y ' = 1 '

x 3 ' y 2 + x 3 y 2 ' + 2 x - 5 y ' + x ' sen ⁡ y + x sen ⁡ y ' = 0

3 x 2 y 2 + x 3 2 y y ' + 2 x - 5 y ' + 1 sen ⁡ y + x cos ⁡ y y ' = 0

3 x 2 y 2 + 2 x 3 y y ' + 2 x - 5 y ' + sen ⁡ y + x cos ⁡ y y ' = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos colocar o y ' em evidência:

y ' 2 x 3 y - 5 + x cos ⁡ y = - 3 x 2 y 2 - 2 x - sen ⁡ y

y ' = d y d x = - 3 x 2 y 2 - 2 x - sen ⁡ y 2 x 3 y - 5 + x cos ⁡ y

Passo 3

b Sabemos que o coeficiente angular a de uma reta modelada por y = a x + b valerá a derivada da função no ponto de tangência em que x , y = 1,0 :

y ' 1,0 = - 3 1 2 0 2 - 2 1 - sen ⁡ 0 2 1 3 0 - 5 + 1 cos ⁡ 0 = 0 - 2 - 0 0 - 5 + 1

= - 2 - 4 = 1 2

Logo, se a = 1 2 , achamos b :

y = a x + b   →       0 = 1 2 1 + b     ;     b = - 1 2

Assim, a reta será y = 1 2 x - 1 2 = 1 2 x - 1

Resposta

a   y ' = d y d x = - 3 x 2 y 2 - 2 x - sen ⁡ y 2 x 3 y - 5 + x cos ⁡ y

b   y = 1 2 x - 1

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