Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Mostre que o ponto 1,1 está na curva y 2 + 2 x y - ln ⁡ x 2 + y 4 / 2 = 3 e determine as equações da reta tangente e da reta normal à curva nesse ponto.

Passo 1

Vamos começar mostrado que esse ponto faz parte da curva. Isso é fácil, é só substituir:

( x = 1 , y = 1 )

E ver se a equação é verdadeira:

1 2 + 2 1 1 - ln ⁡ 1 2 + 1 4 / 2 = 3 ⟹ 1 + 2 - ln ⁡ 1 = 3 ⟹ 3 = 3

Portanto, esse ponto faz parte da curva.

Passo 2

Vamos agora construir a reta tangente, que, de maneira geral é:

y - y 0 = m x - x 0

Onde, nesse caso:

x 0 , y 0 = 1,1 m = y ' 1,1

Então, para a achar a inclinação da reta, devemos encontrar a derivada implícita no ponto desejado. Para isso, adivinhe! Derivamos implicitamente.

y 2 + 2 x y - ln ⁡ x 2 + y 4 / 2 ' = 3 ' ⟹ 2 y y ' + 2 y + 2 x y ' - 2 x 2 + y 4 ⋅ 2 x + 4 y 3 y ' 2   = 0

2 y y ' + 2 y + 2 x y ' - 2 x x 2 + y 4 - 4 y 3 y ' x 2 + y 4 = 0

Deixando os termos com y ' de um saldo e os sem do outro:

2 y y ' + 2 x y ' - 4 y 3 y ' x 2 + y 4 = 2 x x 2 + y 4 - 2 y

Deixando o y ' em evidência e isolando:

y ' 2 y + 2 x - 4 y 3 x 2 + y 4 = 2 x x 2 + y 4 - 2 y ⟹ y ' = 2 x x 2 + y 4 - 2 y 2 y + 2 x - 4 y 3 x 2 + y 4

Não fique se preocupando em simplificar essa expressão. Vamos substituir o ponto que queremos ( 1,1 ) :

m = y ' 1,1 = 2 1 1 2 + 1 4 - 2 1 2 1 + 2 1 - 4 1 3 1 2 + 1 4 = 1 - 2 4 - 2 = - 1 2

Esse é o nosso m , dessa maneira, a equação da reta tangente será:

y - y 0 = m x - x 0 ⟹ y - 1 = - 1 2 x - 1

Isolando isso aí:

y = - 1 2 x + 1 2 + 1 ⟹ y = - 1 2 x + 3 2

Pronto, essa é a equação da reta tangente.

Passo 3

Ainda falta a reta normal, não se esqueça. A reta normal é, nesse caso:

y - y 0 = m x - x 0 ⟹ y - 1 = n x - 1

Com a diferença que:

n = - 1 m

Ou seja:

n = - 1 - 1 / 2 = 2

Dessa maneira:

y - 1 = n x - 1 ⟹ y = 2 x - 1 + 1 ⟹ y = 2 x - 1

Prontinho!

Resposta

Faz parte da curva;

Reta tangente: y = - 1 2 x + 3 2

Reta normal: y = 2 x - 1

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